求把某数分拆成几个自然数的和,求这些数的最大乘积的公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 09:34:40
求把某数分拆成几个自然数的和,求这些数的最大乘积的公式
求把某数分拆成几个自然数的和,求这些数的最大乘积的公式
求把某数分拆成几个自然数的和,求这些数的最大乘积的公式
尽量拆成3和2的和,其中3要尽量多,不要出现1
以16为例
16=3+3+3+3+2+2
所以乘积最大为2×2×3×3×3×3=324
15＝3+3+3+3+3
14＝3+3+3+3+2
13＝3+3+3+2+2
最大积为2^m+3^n的形式
证明如下：
设正整数为k，Xi（i=1，2，……n〈=k）
并且Xi的和为k 积为X1*X2*……*Xn
1)
任意的非最大的Xi=1，否则不妨设X1=1，并将X1与另一个数相加，如以1+X2取代1与X2这两个数易知（1）不变（和不变），而积中因子“1*X2”代之以“1+X2”，显然有
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最大积为2^m+3^n的形式
证明如下：
设正整数为k，Xi（i=1，2，……n〈=k）
并且Xi的和为k 积为X1*X2*……*Xn
1)
任意的非最大的Xi=1，否则不妨设X1=1，并将X1与另一个数相加，如以1+X2取代1与X2这两个数易知（1）不变（和不变），而积中因子“1*X2”代之以“1+X2”，显然有
1*X2*X3****Xn <(1+X2)*X3****Xn
2）
任意的非最大的Xi <=4,否则不妨设X1> 4,此时可令
X1=2+a（a> 2）
易知（1）不变，而积中因子X1以
2*a=2（X1-2）=2X1-4=X1+（X1-4)> X1
代替，显然：
（2+a)*X2*X3***Xn <2*a*X2*X3****Xn
即积增大
由1），2）知最大的积因子只能在2，3，4中选，而4=2+2=2*2，故4可看作两个2
因而Xi只能在2，3中选取，最大积为2^m+3^n的形式，m,n满足 2m+3n=k
因为三个2可以用两个3代替，和不变积增大（2*2*2 <3*3)故2的个数m=1或m=2
收起
设某数X，则(1) X/3=Y ....0 最大乘积: 3^Y
(2) X/3=Y ....1 最大乘积:2^2 *3^(Y-1)
(3) X/3=Y ....2 最大乘积:2 *3^Y