若sin的平方A+sin的的平方B+sin的平方C＞1,则三角ABC是钝角三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 21:35:56
若sin的平方A+sin的的平方B+sin的平方C＞1,则三角ABC是钝角三角形
若sin的平方A+sin的的平方B+sin的平方C＞1,则三角ABC是钝角三角形
若sin的平方A+sin的的平方B+sin的平方C＞1,则三角ABC是钝角三角形
证明
根据 sin²x = (1 - cos2A) / 2
所以：sin²A+sin²B+sin²C = 3 / 2 - (cos2A + cos2B + cos2C) / 2 ①
又因为：A + B + C = 180°
cos2A + cos2B + cos2C
= 2cos(A+B)cos(A-B) + 2cos²C - 1
= -2 cosC [cos(A-B) - cosC] - 1
= -2 cosC [cos(A-B) + cos(A+B)] - 1
= -2 cosC [2 cosAcosB] - 1
= -4 cosAcosBcosC - 1
从而已知不等式①化为 sin²A+sin²B+sin²C = 2 + 2cosAcosBcosC <2 ②
cosAcosBcosC < 0
这说明cosAcosBcosC中有一个为负值,即A、B、C中有一个为钝角,故△ABC是钝角三角形．
补充说明：你原题目似乎有问题,我在②中改你的已知 > 1 为 “< 2” 这样下面结果必然成立.
⑴ 当 sin²A+sin²B+sin²C > 2 △ABC为锐角三角形
⑵ 当 sin²A+sin²B+sin²C = 2 △ABC为直角三角形
⑶ 当 sin²A+sin²B+sin²C < 2 △ABC为钝角三角形
<1才是钝角三角形
该命题错误；因为在直角三角形中显然成立；在锐角三角形中，有A+B>90度，得A>90-B,取正弦得sinA>cosB,则sin²A>cos²B,则sin²A+sin²B+sin²C>cos²B+sin²B+sin²>1;综上，在指教和锐角三角形中也成立
sin^2A+sin^2B+sin^2C＞1
-sin^2A-sin^2B-sin^2C<-1
-2sin^2A-2sin^2B-2sin^2C<-2 二边同加上3,得
(1-2sin^2A)+(1-2sin^2B)+(1-2sin^2C)<1
cos2A+cos2B+cos2C<1
cos[(A+B)+(A-B)]+cos[(A+B)-(A-B...
全部展开
sin^2A+sin^2B+sin^2C＞1
-sin^2A-sin^2B-sin^2C<-1
-2sin^2A-2sin^2B-2sin^2C<-2 二边同加上3,得
(1-2sin^2A)+(1-2sin^2B)+(1-2sin^2C)<1
cos2A+cos2B+cos2C<1
cos[(A+B)+(A-B)]+cos[(A+B)-(A-B)]+cos[2π-2(A+B)]
cos(A+B)cos(A-B)-sin(A+B)sin(A-B)+cos(A+B)cos(A-B)+sin(A+B)sin(A-B)+cos2(A+B)
2cos(A+B)cos(A-B)+2cos^2(A+B)-1<1
2cos^2(A+B)cos(A-B)+2cos^2(A+B)<2
cos(A+B)*[cos(A-B)+cos(A+B)]<1
2cos(A+B)cosAcosB<1 因为cos(A+B)=cos[π-C)=-cosC,所以
cosCcosAcosB>-1/2
因此，
（1）、cosCcosAcosB在[-1/2,0)时，三角形ABC为钝角三角形
（2）、cosCcosAcosB=0时，三角形ABC为直角三角形
（3）、cosCcosAcosB>0时，三角形ABC为锐角三角形
所以该题有问题
收起
这显然是不对的
假设等边三角形 也满足上面的条件 3/4+3/4+3/4=9/4