若0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 11:50:54
若0
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函数y=sin(x/2)/(1+cosx).0＜x＜π/2.
【1】∵0＜x＜π/2.∴0＜x/2＜π/4.
∴0＜sin(x/2) ＜√2/2.
【2】∵由半角公式可知cosx=1-2sin ²(x/2).
∴1+cosx=2-2sin ²(x/2).
换元.可设t=sin(x/2).则原函数可化为函数:
g(t)=t/(2-2t ²).0＜t＜√2/2.
∴问题可化为求函数g(t)=t/(2-2t ²)的值域.（0＜t＜√2/2）
【3】求导可得：
g′(t)=(t ²+1)/[2(1-t ²)²]＞0.
∴函数g(t)在区间(0,√2/2)上递增.
∴g(0) ＜g(t) ＜g(√2/2).t∈(0,√2/2).
即0＜g(t) ＜√2/2.t∈(0,√2/2).
∴函数g(t)的值域为(0,√2/2).
∴原函数的值域为(0,√2/2).
【【【【注】】】
求函数g(t)在(0,√2/2)上单调性,用单调性定义是可以的,但是繁.
化为二次函数2yt ²+t-2y=0来求,要注意方程的根在(0,√2/2)内,也繁.
∴最好是求导.
因为cos2a=2cosa^2-1所以
y=sin(a/2)/(1+（2cos(a/2)^2-1）)=sin(a/2)/2cos(a/2)^2
又因为cosa^2+sina^2=1则设A=sin(a/2),则
y=sin(a/2)/2cos(a/2)^2=sinA/(2-2sinA^2)
则sinA=2y-2ysinA^2则对于sinA一元二次方程2ysinA^2+...
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因为cos2a=2cosa^2-1所以
y=sin(a/2)/(1+（2cos(a/2)^2-1）)=sin(a/2)/2cos(a/2)^2
又因为cosa^2+sina^2=1则设A=sin(a/2),则
y=sin(a/2)/2cos(a/2)^2=sinA/(2-2sinA^2)
则sinA=2y-2ysinA^2则对于sinA一元二次方程2ysinA^2+sinA-2y=0有解。则有
Δ=1^2-4*2y*(-2y)≥0且解0≥sinA≥2^(-0.5)你算算他们的交集，应该就OK乐
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