2012年江苏高考数学第19题第二问几何证明修正：2012江西高考数学第19题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 18:06:09
2012年江苏高考数学第19题第二问几何证明修正：2012江西高考数学第19题
2012年江苏高考数学第19题第二问几何证明
修正：2012江西高考数学第19题
2012年江苏高考数学第19题第二问几何证明修正：2012江西高考数学第19题
在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=√5,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长；
（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.
（1）证明：∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=√5,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O
∴AA1//面BB1C1C==>面A1AO⊥面ABC==>BC⊥面A1AO==>面A1AO⊥面BB1C1C
过O作OE⊥AA1交AA1于E
∴OE⊥面BB1C1C
连接OA,OA=√(AB^2-OB^2)=1
A1O=√(AA1^2-OA^2)=2
OA^2=AE*AA1==>AE=√5/5
（2）解析：求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.
过C1作C1F⊥B1C交B1C于F,过F作FG⊥B1C交A1C于G,连接GC1
∴∠GFC1为平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的平面角
∵BB1C1C为矩形,∴∠CC1B1=π/2
在⊿CB1C1中,B1C=√(B1C1^2+CC1^2)=√21
B1C1^2=B1F*B1C==>4^2=B1F*√21==>B1F=16/√21
FC1=√(B1C1^2-FB1^2)= 4√5/√21
由(1)A1O=2,OC=2,∴A1C=2√2
在⊿A1CB1中
Cos∠A1CB1=(A1C^2+B1C^2-A1B1^2)/(2A1C*B1C)=(8+21-5)/(2*2√42)=6/√42
CF=√21-16/√21=5/√21
tan∠A1CB1=GF/CF=√6/6==>GF=5√14/42
Cos∠A1CB1=CF/CG=6/√42==>CG=5/√21*√42/6=5√2/6
在⊿A1CC1中
Cos∠A1CC1=(A1C^2+C1C^2-A1C1^2)/(2A1C*C1C)=(8+5-5)/(2*2√10)=2/√10
CG=5√2/6
GC1=√(GC^2+CC1^2-2*GC*CC1*cos∠A1CC1)=√(50/36+5-2*5√2/6*√5*2/√10)
=√(55/18)
在⊿GFC1中
Cos∠GFC1=(GF^2+FC1^2-GC1^2)/(2GF*C1F)=(25/126+80/21-55/18)/(2*5√14/42*√80/√21)
=√30/10