已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么弄出来的结论?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 21:42:01
已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么弄出来的结论?
已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么弄出来的结论?
已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么弄出来的结论?
这个很简单:
跟着我的思路来
第一 你要知道关于求转置,有一个脱衣原则.即(AB)^T=(B^T)(A^T),语言描述是 AB的转置等于B的转置乘以A的转置,注意是从后往前脱衣,脱衣后B在前A在后.其中A,B两个矩阵可以不是方阵.
第二 矩阵的乘法有结合律.即(AB)C=A(BC),这里的矩阵只要在规模上能相乘即可比如A是m行n列的矩阵 则B一定是n行的,否则无法作矩阵乘法.
由脱衣原则和矩阵结合律,看本题:
a^T(A^TA)a=a^TA^TAa=(a^TA^T)(Aa)这里的加括号去括号用到的是矩阵的乘法,注意a也是一个n行1列的矩阵.再由脱衣原则a^TA^T=(Aa)^T,代入上式则a^T(A^TA)a=(Aa)^T(Aa).
好了 马上出结论了
第三把Aa看成一个整体,由矩阵乘法知Aa是一个n维列向量.
a^T(A^TA)a=(Aa)^T(Aa).就是Aa的模的平方(这个高中的点乘\内积那的概念应该会吧)
然后向量的模一定是非负数,又R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,就能保证Aa不为0,故llAall^2>0
不会可以继续追问
一个更正,问题中的“a=2/3”似乎有误,应为“a^Ta=2/3”
首先可知A是一个对称阵,那么AA^T=E就等价于(E-3aa^T)(E-3aa^T)=E,展开就得E-6aa^T 9(a^Ta)(aa^T)=E,进一步合并同类项有:(9a^Ta-6)aa^T=0
如果aa^T为零矩阵,则A=E,就过于特殊,故应不为零矩阵,所以括号内必为零,证毕哪里有a=2/3?这是什么?...
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一个更正,问题中的“a=2/3”似乎有误,应为“a^Ta=2/3”
首先可知A是一个对称阵,那么AA^T=E就等价于(E-3aa^T)(E-3aa^T)=E,展开就得E-6aa^T 9(a^Ta)(aa^T)=E,进一步合并同类项有:(9a^Ta-6)aa^T=0
如果aa^T为零矩阵,则A=E,就过于特殊,故应不为零矩阵,所以括号内必为零,证毕
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