n阶实对称矩阵A正定的充要条件是（ ）.（A）R(A)=n （B）A的所有特征值非负（C）A的主对角线元素都大于零 （D）A^-1正定

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 21:57:29
n阶实对称矩阵A正定的充要条件是（）.（A）R(A)=n（B）A的所有特征值非负（C）A的主对角线元素都大于零（D）A^-1正定n阶实对称矩阵A正定的充要条件是（）.（A）R(A)=n（B）A的所有特

n阶实对称矩阵A正定的充要条件是（ ）.（A）R(A)=n （B）A的所有特征值非负（C）A的主对角线元素都大于零 （D）A^-1正定
n阶实对称矩阵A正定的充要条件是（ ）.
（A）R(A)=n （B）A的所有特征值非负
（C）A的主对角线元素都大于零 （D）A^-1正定

n阶实对称矩阵A正定的充要条件是（ ）.（A）R(A)=n （B）A的所有特征值非负（C）A的主对角线元素都大于零 （D）A^-1正定
C

A的逆正定

应该选D。C是错的

应该选D
证明：
必要性：
如果n阶实对称矩阵A为正定矩阵，那么A的正惯性指数为n，即A的所有特征值x1,x2,...,xn都大于0。由于A的特征值没有0，所以A可逆，且A的逆的特征值为1/x1,1/x2,...,1/xn。显然A的逆的特征值也都大于0，故A的逆也正定。
充分性：
如果A的逆矩阵为正定矩阵，那么它的正惯性指数为n，即A的逆的所有特征值x1,x...

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应该选D
证明：
必要性：
如果n阶实对称矩阵A为正定矩阵，那么A的正惯性指数为n，即A的所有特征值x1,x2,...,xn都大于0。由于A的特征值没有0，所以A可逆，且A的逆的特征值为1/x1,1/x2,...,1/xn。显然A的逆的特征值也都大于0，故A的逆也正定。
充分性：
如果A的逆矩阵为正定矩阵，那么它的正惯性指数为n，即A的逆的所有特征值x1,x2,...,xn都大于0。A的特征值为1/x1,1/x2,...,1/xn。显然A的特征值也都大于0，故A正定。

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