如果知道同阶矩阵A,B的特征值,A+B的特征值是A和B特征值的和吗?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/05 21:35:07
如果知道同阶矩阵A,B的特征值,A+B的特征值是A和B特征值的和吗?
如果知道同阶矩阵A,B的特征值,A+B的特征值是A和B特征值的和吗?
如果知道同阶矩阵A,B的特征值,A+B的特征值是A和B特征值的和吗?
若同阶矩阵A B的特征值之一分别为x ,y那么A+B的特征值是不是有一个为x+y
答：
特征值的个数不一定只有一个,故一般说A的特征值之一为x,或x是A的一个特征值,或x是A的特征值之一.因此我将题目略作了修改,同意不?
如果它们有A的特征值x对应的特征向量与B的特征值y对应的特征向量相同,比如都是ξ,
那么 Aξ=xξ,B=yξ,此时(A+B)ξ=(x+y)ξ,此时A+B有特征值x+y,对应的特征向量还是ξ.
其它情况就不好说了.
后来,电灯剑客先生提醒我说是不一定.其实我也正是因为没有进一步找出例子,也没有再深入分析,所以就说不好说.下面略分析一下.
不妨以二阶矩阵为例,令
A=
a1,b1;
a2,b2
B=
c1,d1;
c2,d2
由已知,
|xE-A|=xx-tr(A)x+det(A)=0
|yE-B|=yy-tr(B)y+det(B)=0
注：这里tr(A)是A的主对角线元素和,即tr(A)=a1+b2.
分析|(x+y)E-(A+B)|=
(xx+yy+2xy)-(tr(A)+tr(B))(x+y)+det(A)+det(B)+det{a1,d1;a2,d2}+det{c1,b1;c2,b2}
=0+0+2xy-tr(A)y-tr(B)x+det{a1,d1;a2,d2}+det{c1,b1;c2,b2}
易见它可能等于0,也可能不等于0.
故A+B不一定有特征值x+y,即可能有也可能没有.
或者说,x+y可能是A+B的特征值,也可能不是.
题二：设A,B分别是n阶正定矩阵,那么A+B是否是正定矩阵.
据定义,在复数范围内,
A为n阶的正定矩阵（有时简称为正定阵）对于任一n维列向量x,都有x[H]Ax>0,
于是,依题意,x[H]Ax>0,x[H]Bx>0,相加得：x[H](A+B)x>0 ,即证A+B也为正定矩阵.
注1：此处,x[H]表示向量x的共轭转置,亦称为Hemite转置,此概念已涵盖实向量的转置.
因为在实数范围内,数的共轭等于自身,故实向量x的共轭转置即是x的转置.
注2：同理,复数范围内的正定矩阵定义,已经涵盖的实数范围内的正定矩阵的定义.
注3：A[H]=A,即矩阵A的共轭转置等于自身,则称为对称自共轭矩阵,共轭对称矩阵,或Hemite矩阵.故Hemite矩阵,已经涵盖了实对称矩阵的定义.
注4：正定矩阵的特征及性质
定理1：共轭对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正.
定理2：共轭对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正.
定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵.
定理4：任意阵A为正定的充分必要条件是：A的逆阵也是正定矩阵.
正定矩阵的性质：
1.正定矩阵一定是非奇异的,即det(A)或记为|A|≠0.
2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵.
3.若A为实对称正定矩阵,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得A=L*L′,此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基(Cholesky)分解.这里L'表示转置.
注：正定矩阵之于矩阵,相当于正数之于数.矩阵的Cholesky分解,相当于数的开平方.
外一则：
B为对称矩阵,E为单位矩阵.则存在充分大的正实数a,使得aE+B为正定矩阵.
另有性质待考：
3++.若A为共轭对称正定矩阵,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得A=L*L[H],此为 共轭对称正定矩阵的乔列斯基(Cholesky)分解.这里L[H]表示L的共轭转置.
希望能解决您的问题.