已知正数数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 09:32:57
已知正数数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项．
已知正数数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项．
已知正数数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项．
10Sn=an^2+5an+6(1)
10S(n-1)=[a(n-1)]^2+5a(n-1)+6(2)
(1)-(2)得:10an=an^2+5an-[a(n-1)]^2-5a(n-1)
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-5]=0
an=a(n-1)+5(是等差数列)
10a1=a1^2+5a1+6
解得:a1=2或3
当a1=2时,a3=2+2*5=12,a15=2+14*5=72(正好是等比数列)
当a1=3时,a3=3+2*5=13,a15=3+14*5=73(不是等比数列)
所以an=2+(n-1)*5=5n-3
10Sn=An^2+5An+6
10S(n-1) = [A(n-1)]^2 + 5 A(n-1) + 6
10Sn-10S(n-1) = (An)^2 - [A(n-1)]^2 + 5[An - A(n-1)]
而与此同时 Sn - S(n-1) = An
因此
10 * An = (An)^2 - [A(n-1)]^2 + 5[An - A(n-...
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10Sn=An^2+5An+6
10S(n-1) = [A(n-1)]^2 + 5 A(n-1) + 6
10Sn-10S(n-1) = (An)^2 - [A(n-1)]^2 + 5[An - A(n-1)]
而与此同时 Sn - S(n-1) = An
因此
10 * An = (An)^2 - [A(n-1)]^2 + 5[An - A(n-1)]
(An)^2 - [A(n-1)]^2 - 5[An + A(n-1)]=0
[An - A(n-1)]*[An + A(n-1)] - 5 [An + A(n-1)] = 0
因为数列为正数列，所以 An + A(n-1) ≠ 0
上面等式可简化为
An - A(n-1) -5 = 0
即 An - A(n-1) = 5
即数列为 公差为 5 的等差数列。
再由 10Sn=An^2+5An+6 可推出
10A1 = A1^2 + 5A1 + 6
(A1-2)(A1-3)=0
A1 =2 或 A1=3
如果 A1 =2，那么
An = A1 + (n-1)*d = 2 + (n-1)*5 = 5n -3
A1 = 2
A3 = 12
A15 = 72
它们之间成等比数列。符合题目要求。
如果A1=3，那么
An = A1 + (n-1)*d = 3 + (n-1)*5 = 5n -2
A1 =3
A3 = 13
A15 73
它们之间不成等比数列，因此不符合题目要求，舍去。
综上所述，数列的通项公式为：
An = 5n - 3
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