勾股定理的具体证明方法

勾股定理的具体证明方法
勾股定理的具体证明方法

勾股定理的具体证明方法
《勾股定理的证明方法探究》
勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中,斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和.据考证,人类对这条定理的认识,少说也超过 4000 年!又据记载,现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明!
勾股定理是几何学中的明珠,所以它充满魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简单,更容易吸引人,才使它成百次地反复被人炒作,反复被人论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑,其中收集了367种不同的证明方法.实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法.这是任何定理无法比拟的.
1.课本方法：画两个边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边.这两个正方形全等,故面积相等.
左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等.从左右两图中都把四个三角形去掉,图形剩下部分的面积必相等.左图剩下两个正方形,分别以a、b为边.右图剩下以c为边的正方形.于是
a2+b2=c2.
这是几何教科书中所介绍的方法.既直观又简单,任何人都看得懂.方法2：直接在直角三角形三边上画正方形,如图
这个证明方法之所以精彩,是它们所用到的定理少,都只用到面积的两个基本观念：
⑴ 全等形的面积相等；
⑵ 一个图形分割成几部分,各部分面积之和等于原图形的面积.
这是完全可以接受的朴素观念,任何人都能理解.
2‘古人的方法：
如图,将图中的四个直角三角形涂上深红色,把中间小正方形涂上白色,以弦为边的正方形称为弦实,然后经过拼补搭配,“令出入相补,各从其类”,他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的.即“勾股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦也”.赵爽对勾股定理的证明,显示了我国数学家高超的证题思想,较为简明、直观.
3.美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明.
如图,
S梯形ABCD= (a+b) 2 = (a2+2ab+b2),①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2).②
比较以上二式,便得
a2+b2=c2.
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式,从而使证明相当简洁.
4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后,我们知道在直角三角形中,斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似.
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°.作CD⊥AB,垂足为D.则
△BCD∽△BAC,△CAD∽△BAC.
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD × BA,①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD × AB.②
我们发现,把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD）,
而AD+BD=AB,
因此有 BC2+AC2=AB2,这就是
a2+b2=c2.
这也是一种证明勾股定理的方法,而且也很简洁.它利用了相似三角形的知识.
应用勾股定理犯的错误：
⑴勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理,其应用非常广泛.我们在应用这两个定理解题时,常常会出现错解,现将错误归纳剖析如下,以引起我们的重视.一、忽视题目中的隐含条件例1在Rt△ABC中,a、b、c分别为三条边,∠B=90°,如果a=3cm,b=4cm,求边c的长.∵△ABC是直角三角形,∴a2+b2=c2,即32+42=c2,解得c=5(cm).剖析:上面的解法,忽视了题目中∠B=90°,b是斜边的隐含条件.∵∠B=90°,∴a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件例2在边长都是整数的△ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.由“勾3股4弦5”知AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,∴AB=5cm.剖析:这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响,见题中有BC=3,AC=4,就认为AB=5,而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解.
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形,其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”.
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆,则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”.
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体,则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.
若以直角三角形的三边为直径分别作球,则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和.