椭圆标准方程F1,F2是椭圆4x²+5y²-20=0的两个焦点,过F1作倾斜角为45°的玄AB,求△F2AB的面积.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 09:20:21
椭圆标准方程F1,F2是椭圆4x²+5y²-20=0的两个焦点,过F1作倾斜角为45°的玄AB,求△F2AB的面积.
椭圆标准方程
F1,F2是椭圆4x²+5y²-20=0的两个焦点,过F1作倾斜角为45°的玄AB,求△F2AB的面积.
椭圆标准方程F1,F2是椭圆4x²+5y²-20=0的两个焦点,过F1作倾斜角为45°的玄AB,求△F2AB的面积.
可以做2条这样的玄,但因对称性,所求三角形的面积一样
令过F1的斜率为45度的玄的直线方程为y=x+b
化原方程为标准格式,即（x^2)/5+(y^2)/4=1
所以 c=√(5-4)=1,F1F2=2
因为y=x+b过F1(-1,0)
将F1坐标代如y=x+1可得:b=1
解方程组 y=x+1.1)
4x^2+5y^2=20.2)
有,9y^2-8y-16=0
所以,y1=[4(1+√10)]/9,y2=[4(1-√10)]/9
因为△F2AB的面积=S△F2F1A+S△F2F1B
=(1/2)*2*4(1+√10)]/9+(1/2)*2*(-y2)
=(8√10)/9
设AB直线为Y=X+1 连立椭圆方程
9X^2+10x-15=0
两根之和=-10/9 两根之积=-15/9
根据弦长AB=根号下（1+K^2）*((连根之和)^2-4两根之积)
AB长=（16√5）/9
F2（1，0）到AB的距离为 √2
所以△F2AB的面积=1/2 AB长*F2（1，0）到AB的距离=（8√10）/9
易得直线解析式为y=x+1
与椭圆联立化简得9x^2+10x-15=0
x1+x2=-10/9,x1x2=-5/3
|AB|=√2|x1-x2|=|=√2√[(x1+x2)^2-4x1x2]=16√5/9
F2到直线AB的距离为|1-0+1|/√2=√2
所以三角形面积为1/2*√2*16√5/9=8√10/9
回答完毕
△F2AB的面积=|F1F2|*|y1-y2|
y1、y2分别为A、B的纵坐标
直线AB的解析式y=x+1带入椭圆方程，消去x
得到一个关于y的一元二次方程，根据韦达定理求出|y1-y2|