数学化归等比数列,错位相减法求和 已知数列的通项an=n*2^n,求数列{an}的前n项和Sn,

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 18:30:40
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已知数列的通项an=n*2^n,求数列{an}的前n项和Sn,

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Sn=1*2+2*4+3*8+4*16+……+（n-1）*2^(n-1)+n*2^n ①
①式左右两边同乘以2得
2Sn= 1*4+2*8+3*16+…… +（n-1）*2^n+n*2^（n+1） ②
①-②得（注意：书写②式时各项的位置,呈现了错位.相减时又是错位相减的）
-Sn=1*2+1*4+1*8+1*16+…… +1*2^n-n*2^（n+1）
(所以-Sn就是一个等比数列的前n项和减去n*2^（n+1）)
-Sn=2*（1-2^n）/（1-2）-n*2^（n+1）
=2^(n+1)-2-n*2^（n+1）
所以
Sn=(n-1)*2^（n+1)+2

s(n)=1*2+2*2^2+...+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n,
2s(n)=1*2^2+2*2^3+...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1),
s(n)=2s(n)-s(n)=-2-2^2-...-2^n+n*2^(n+1)
=n*2^(n+1)-2[1+2+...+2^(n-1)]
=n*2^(n+1)-2[2^n-1]/(2-1)
=(n-1)*2^(n+1) + 2

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