把1~1993个自然数按顺时针方向依次排列在一个圆圈上,从1开始顺时针的方向,保留1,擦去2；保留3,擦去4……,这样每隔一个数,擦去一个数,转圈擦下去,问,最后剩下一个数时,剩下的是哪个数?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 21:57:09
把1~1993个自然数按顺时针方向依次排列在一个圆圈上,从1开始顺时针的方向,保留1,擦去2；保留3,擦去4……,这样每隔一个数,擦去一个数,转圈擦下去,问,最后剩下一个数时,剩下的是哪个数?
把1~1993个自然数按顺时针方向依次排列在一个圆圈上,从1开始顺时针的方向,保留1,擦去2；保留3,擦去4……,这样每隔一个数,擦去一个数,转圈擦下去,问,最后剩下一个数时,剩下的是哪个数?
把1~1993个自然数按顺时针方向依次排列在一个圆圈上,从1开始顺时针的方向,保留1,擦去2；保留3,擦去4……,这样每隔一个数,擦去一个数,转圈擦下去,问,最后剩下一个数时,剩下的是哪个数?
对楼上的问题我表示怀疑,因为第一圈后剩下的是1、3、5、7..,然后第二圈是1,然后是5,而5并不能被3整除.
实际上这个问题是约瑟夫环问题,没有非常快的计算方式,数学方法如下：
问题描述：n个人（编号0~(n-1)),从0开始报数,报到m-1的退出
,剩下的人继续从0开始报数.求胜利者的编号.
我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ...n-2,n-1,0,1,2,...k-2
并且从k开始报0.
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-3 --> n-3
k-2 --> n-2
序列1：0,1,2,3 … n-2,n-1
序列2：0,1,2,3 … k-1,k+1,…,n-2,n-1
序列3：k,k+1,k+2,k+3,…,n-2,n-1,1,2,3,…,k-2,
序列4：0,1,2,3 …,5,6,7,8,…,n-3,n-2
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来：
∵ k=m%n;
∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n
∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n
得到 x‘=(x+m)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了.(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n].
递推公式:
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f[n].我们输出f[n]由于是逐级递推,不需要保存每个
————————
也就是说,从理论上讲1993个要计算1992次才能得出答案,OTZ
但是,如果你一定要答案怎么办呢?
yeah!你问到了一个计算机帝哦,我帮你算出来是1939.
更具体可以自己百度一下约瑟夫环,
踩我哦亲~
1、第一圈开始去掉的是能被2整除的数
2、第二圈开始去掉的是1,和能被3整除的数，
3、第三圈去掉的是能被5整除的数
。。。。。。。
最后剩下的是1993（因为1993是靠近1993最大的质数）