已知a,b是实数,并且满足（a-1)^2+|3-b|=0,求代数式1/(a+1)(b+1)+1/(a+3)(b+3)+1/(a+5)(b+5)+.+1/(a+2005)(b+2005)的值.

已知a,b是实数,并且满足（a-1)^2+|3-b|=0,求代数式1/(a+1)(b+1)+1/(a+3)(b+3)+1/(a+5)(b+5)+.+1/(a+2005)(b+2005)的值.
已知a,b是实数,并且满足（a-1)^2+|3-b|=0,求代数式1/(a+1)(b+1)+1/(a+3)(b+3)+1/(a+5)(b+5)+.+1/(a+2005)(b+2005)的值.

已知a,b是实数,并且满足（a-1)^2+|3-b|=0,求代数式1/(a+1)(b+1)+1/(a+3)(b+3)+1/(a+5)(b+5)+.+1/(a+2005)(b+2005)的值.
算出a=1,b=3后,
原式=1/(2*4) + 1/(4*6) + 1/(6*8)+.+1/(2006*2008)
其中1/(2*4) = 1/2 * (1/2 - 1/4)
1/(4*6) = 1/2 * (1/4 - 1/6)
...
1/(2006*2008) = 1/2 * (1/2006 - 1/2008)
这些数相加就是：（提1/2出来）
1/2 * （1/2 - 1/4 + 1/4 - 1/6 +.-1/2008）
=1/2 * (1/2 - 1/2008)
=1/2 * 1003/2008
=1003/4016

把a=1，b=3代入：
1/(2*4)+1/(4*6)+)+....+1/(2006*2008)
1/(2*4)=0.5*(1/2-1/4)
1/(4*6)=0.5*(1/4-1/6)
1/(6*8)=0.5*(1/6-1/8)
...
1/(2006*2008)=0.5*(1/2006-2008)
所以原式
=0.5*（1/2-1/4+1/4-1/6+1/6-1/8+1/8-..+1/2006-1/2008）
=0.5*(1/2-1/2008)
=0.5*1003/2008
=1003/4016

观察和式：
第一项：1/2*4
第二项: 1/4*6
第三项: 1/6*8
……
第n项: 1/2n*(2n+2)
因此可以用裂项相消法：
1/2n*(2n+2)=(1/2n-1/(2n+2))/2
前后项相互抵消，最后
原式 =(1/2-1/2008)/2
=1003/4016

由（a-1)^2+|3-b|=0知 a=1 b=3
1/(a+1)(b+1)+1/(a+3)(b+3)+1/(a+5)(b+5)+......+1/(a+2005)(b+2005)=
1/2*4+1/4*6+1/6*8+....1/2006*2008=1/2(1/2-1/4+1/4-1/6+1/6-1/8+....1/2006-1/2008)=1/2(1/2-1/2008)=1003/4016

（a-1)^2+|3-b|=0,非负数之和为0，则a-1=0，3-b=0 ，a=1，b=3，这个你已经知道了，然后代入得这个式子的通项就是1/(a+2n-1)(b+2n-1）
=[1/(a+2n-1)-1/(b+2n-1)]/(b-a)
...

全部展开

（a-1)^2+|3-b|=0,非负数之和为0，则a-1=0，3-b=0 ，a=1，b=3，这个你已经知道了，然后代入得这个式子的通项就是1/(a+2n-1)(b+2n-1）
=[1/(a+2n-1)-1/(b+2n-1)]/(b-a)
=[1/(a+2n-1)-1/(b+2n-1)/2
因此原式=（1/2-1/4+1/4-1/6+1/6……-1/2006+1/2006-1/2008)/2=(1/2-1/2008)/2=1003/4016

收起

首先求出a=1,b=3
那么原式=1/(2*4)+1/(4*6)+1/(6*8)+...+1/(2006*2008)
=1/2[1/2-1/4+1/4-1/6+1/6-1/8+...+1/2006-1/2008]
=1/2*[1/2-1/2008]=1/2 * 1003/2008= 1003/4016
此题主要是要会使用裂项相消这一解题技巧