高数一道极限题 证明(1+x)的1/n次方在x趋于零时的极限值为1.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 15:14:23
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用个夹逼定理,x＞0时,它介于1与1+1/n*x之间；x＜0时,它介于1+1/n*x与1之间.所以极限是1.
用定义的话,因为|f(x)-A|≤1/n*|x|,所以由|f(x)-A|＜ε得|x|＜nε,只要让去心邻域的半径δ≤nε即可.
我不知道LZ是不是大一学生，如果是的话，你应该学过“初等函数在定义区间上连续”这个定理。 而f(x) = (1+x)^{1/n}是一个初等函数，x=0在函数的定义区间内，因此f(x)在x=0连续。 所以lim_{x->0} f(x) = f(0) = 1. 当然也可以用ε-δ的方法来做，见图片：
给个思路吧，把过程写全还是有点麻烦。
主要是对任意给定的ε>0, 存在δ>0,对任意的0<|x-0|<δ, 成立|(1+x)^(1/n)-1|<ε
这里关键就是根据ε和|(1+x)^(1/n)-1|<ε把δ求出来即可。
(-ε+1)^n-1
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给个思路吧，把过程写全还是有点麻烦。
主要是对任意给定的ε>0, 存在δ>0,对任意的0<|x-0|<δ, 成立|(1+x)^(1/n)-1|<ε
这里关键就是根据ε和|(1+x)^(1/n)-1|<ε把δ求出来即可。
(-ε+1)^n-1
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