已知M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证MNPQ是平行四边形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 09:26:49
已知M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证MNPQ是平行四边形
已知M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证MNPQ是平行四边形
已知M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证MNPQ是平行四边形
证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点,∴MN‖AC,MN＝ AC．
∵P、Q是CD、DA的中点,∴PQ‖CA,PQ＝ CA．
∴MN‖QP,MN＝QP,MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1),AC‖MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACα．
否则,若ACα,
由A∈α,M∈α,得B∈α；
由A∈α,Q∈α,得D∈α,则A、B、C、D∈α,
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNα,∴AC‖α,
又AC α,∴AC‖α,即AC‖平面MNP．
同理可证BD‖平面MNP．
证明连接DB，QM‖PN‖DB，（中位线定理）同理，QP‖AC‖MN,所以MNPQ是平行四边形。
证明：（1）∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN=1/2AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ=1/2CA．
∴MN∥QP，MN=QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
（2）由（1），AC∥MN．记平面MNP（即平面MNPQ）为α．显然AC⊄α．
否则，若AC⊂α，
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证明：（1）∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN=1/2AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ=1/2CA．
∴MN∥QP，MN=QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
（2）由（1），AC∥MN．记平面MNP（即平面MNPQ）为α．显然AC⊄α．
否则，若AC⊂α，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNÌα，∴AC∥α，
又ACËα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
又∵BD∥NP，BD⊄平面MNP，NP⊂平面MNP
∴BD∥平面MNP．
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