lim(x->0)[x/sin(x)]=?即高数中两个重要极限中的前一个{lim(x->0)[sin(x)/x]=1}反过来=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 01:05:48
lim(x->0)[x/sin(x)]=?即高数中两个重要极限中的前一个{lim(x->0)[sin(x)/x]=1}反过来=?
lim(x->0)[x/sin(x)]=?即高数中两个重要极限中的前一个{lim(x->0)[sin(x)/x]=1}反过来=?
lim(x->0)[x/sin(x)]=?即高数中两个重要极限中的前一个{lim(x->0)[sin(x)/x]=1}反过来=?
如图,在单位圆中θ对应的弧长为θ,(为图片方便此处用θ代替x)
由图可知sinθ<θ<tanθ；
将不等式同除以sinθ可得
1<θ/sinθ<1/cosθ；
lim(x->0)[1/cosθ]=1;
由夹逼准则可知θ/sinθ的极限为1.
这个是一样的，不知道你学了等价无穷小没有，这两个是等价无穷小，所以lim(x->0)[x/sin(x)]和lim(x->0)[sin(x)/x]都是等于1的。
当然，你如果用sinx的麦克劳林展开式也是一样的效果，把sinx=x-x^3/3!+x^5/5!……+(-1)^n*{x^(2n+1)/(2n+1)!}代入lim(x->0)[x/sin(x)]中：lim(x->0)[x/x-x^3...
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这个是一样的，不知道你学了等价无穷小没有，这两个是等价无穷小，所以lim(x->0)[x/sin(x)]和lim(x->0)[sin(x)/x]都是等于1的。
当然，你如果用sinx的麦克劳林展开式也是一样的效果，把sinx=x-x^3/3!+x^5/5!……+(-1)^n*{x^(2n+1)/(2n+1)!}代入lim(x->0)[x/sin(x)]中：lim(x->0)[x/x-x^3/3!+x^5/5!……]＝lim(x->0)[1/1-x^2/3!+x^4/5!……]＝1
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还是1啊。极限运算法则中不是有一个除法法则嘛，x/sinx＝1÷(sinx/x)，极限自然是1÷1=1