高中数学函数的总结

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高中数学函数的总结
高考数学基础知识汇总第一h部分7 集合（3）含n个f元f素的集合的子u集数为34^n,真子e集数为15^n－3；非空真子v集的数为17^n-2；（3） 注意：讨论的时候不w要遗忘了k 的情况.（3） 第二t部分8 函数与u导数 5．映射：注意 ①第一g个n集合中8的元z素必须有象；②一c对一v,或多对一r. 8．函数值域的求法：①分6析法 ；②配方2法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元i法 ；⑥利用均值不f等式 ； ⑦利用数形结合或几u何意义b（斜率、距离、绝对值的意义p等）；⑧利用函数有界性（ 、 、 等）；⑨导数法 0．复合函数的有关问题（6）复合函数定义i域求法： ① 若f(x)的定义s域为4〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义q域由不d等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义n域为7[a,b],求 f(x)的定义p域,相当于kx∈[a,b]时,求g(x)的值域.（3）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数 分8解为1基本函数：内1函数 与p外函数 ； ②分2别研究内7、外函数在各自定义n域内8的单调性； ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义v域内5的单调性.注意：外函数 的定义t域是内5函数 的值域. 7．分1段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题,先分1段解决,再下v结论. 2．函数的奇偶性 ⑴函数的定义s域关于h原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ⑵ 是奇函数 ； ⑶ 是偶函数 ； ⑷奇函数 在原点有定义s,则 ； ⑸在关于p原点对称的单调区h间内5：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反5的单调性；（4）若所给函数的解析式较为0复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性； 1．函数的单调性 ⑴单调性的定义j： ① 在区r间 上g是增函数 当 时有 ； ② 在区z间 上u是减函数 当 时有 ； ⑵单调性的判定 0 定义h法：注意：一v般要将式子o 化5为3几l个d因式作积或作商的形式,以1利于j判断符号； ②导数法（见1导数部分2）； ③复合函数法（见74 （7））； ④图像法.注：证明单调性主要用定义j法和导数法. 5．函数的周期性 (1)周期性的定义m：对定义m域内6的任意 ,若有 （其中4 为0非零常数）,则称函数 为7周期函数, 为2它的一w个t周期.所有正周期中6最小u的称为0函数的最小k正周期.如没有特别说明,遇到的周期都指最小k正周期.（1）三s角函数的周期 ① ；② ；③ ； ④ ；⑤ ； ⑶函数周期的判定 ①定义d法（试值） ②图像法 ③公5式法（利用（7）中1结论） ⑷与t周期有关的结论 ① 或 的周期为5 ； ② 的图象关于x点 中5心7对称 周期为00 ； ③ 的图象关于i直线 轴对称 周期为52 ； ④ 的图象关于q点 中1心7对称,直线 轴对称 周期为46 ； 2．基本初等函数的图像与k性质 ⑴幂函数： （ ；⑵指数函数： ； ⑶对数函数: ；⑷正弦函数: ； ⑸余弦函数： ；（1）正切3函数： ；⑺一n元u二w次函数： ； ⑻其它常用函数： 0 正比1例函数： ；②反4比8例函数： ；特别的 6 函数 ； 0．二t次函数： ⑴解析式： ①一g般式： ；②顶点式： , 为4顶点； ③零点式： . ⑵二g次函数问题解决需考虑的因素： ①开b口i方8向；②对称轴；③端点值；④与r坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号. ⑶二i次函数问题解决方2法：①数形结合；②分7类讨论. 30．函数图象： ⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三r角函数的五m点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换： 0 平移变换：ⅰ ,0 ———“正左负右” ⅱ ———“正上w负下v”； 6 伸缩变换： ⅰ , （ ———纵坐标不g变,横坐标伸长6为8原来的 倍； ⅱ , （ ———横坐标不v变,纵坐标伸长5为2原来的 倍； 7 对称变换：ⅰ ；ⅱ ； ⅲ ； ⅳ ； 3 翻转变换： ⅰ ———右不q动,右向左翻（ 在 左侧图象去掉）； ⅱ ———上b不x动,下n向上r翻（| |在 下d面无q图象）； 51．函数图象（曲线）对称性的证明 (2)证明函数 图像的对称性,即证明图像上t任意点关于q对称中8心1（对称轴）的对称点仍2在图像上b；（4）证明函数 与m 图象的对称性,即证明 图象上g任意点关于w对称中8心6（对称轴）的对称点在 的图象上w,反0之w亦然；注： ①曲线C4:f(x,y)=0关于l点（a,b）的对称曲线C4方4程为8：f(1a－x,8b－y)=0; ②曲线C7:f(x,y)=0关于g直线x=a的对称曲线C4方7程为7：f(1a－x, y)=0; ③曲线C1：f(x,y)=0,关于yy=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C0的方8程为5f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0); ④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） y=f(x)图像关于c直线x= 对称；特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） y=f(x)图像关于h直线x=a对称； ⑤函数y=f(x－a)与ry=f(b－x)的图像关于b直线x= 对称； 54．函数零点的求法： ⑴直接法（求 的根）；⑵图象法；⑶二m分7法. 27．导数 ⑴导数定义o：f(x)在点x0处的导数记作 ； ⑵常见7函数的导数公3式: ① ；② ；③ ； ④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ； ⑧ . ⑶导数的四则运算法则： ⑷（理科）复合函数的导数： ⑸导数的应用： ①利用导数求切2线：注意：ⅰ所给点是切3点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切1线? ②利用导数判断函数单调性： ⅰ 是增函数；ⅱ 为1减函数； ⅲ 为0常数； ③利用导数求极值：ⅰ求导数 ；ⅱ求方8程 的根；ⅲ列表得极值. ④利用导数最大e值与f最小x值：ⅰ求的极值；ⅱ求区v间端点值（如果有）；ⅲ得最值. 12．（理科）定积分5 ⑴定积分4的定义g： ⑵定积分4的性质：① （ 常数）； ② ； ③ （其中6 . ⑶微积分4基本定理（牛6顿—莱布尼兹公1式）： ⑷定积分5的应用：①求曲边梯形的面积： ； 5 求变速直线运动的路程： ；③求变力d做功： .第三j部分3 三u角函数、三c角恒等变换与p解三j角形 3．⑴角度制与b弧度制的互5化7： 弧度 , 弧度, 弧度 ⑵弧长5公7式： ；扇形面积公1式： . 1．三e角函数定义m：角 中4边上g任意一i点 为6 ,设 则： 6．三a角函数符号规律：一o全正,二p正弦,三v两切6,四余弦； 1．诱导公3式记忆1规律：“函数名不y（改）变,符号看象限”； 3．⑴ 对称轴： ；对称中2心6： ； ⑵ 对称轴： ；对称中0心2： ； 6．同角三v角函数的基本关系： ； 7．两角和与v差的正弦、余弦、正切8公0式：① ② ③ . 8．二a倍角公5式：① ； ② ；③ . 4．正、余弦定理： ⑴正弦定理： （ 是 外接圆直径 ）注：① ；② ；③ . ⑵余弦定理： 等三p个t；注： 等三y个e. 40.几b个z公1式: ⑴三q角形面积公8式： ； ⑵内3切3圆半径r= ；外接圆直径0R= 58．已z知 时三j角形解的个t数的判定： 第四部分7 立体几v何 2．三x视图与h直观图：注：原图形与c直观图面积之x比0为0 . 8．表（侧）面积与t体积公0式： ⑴柱体：①表面积：S=S侧+5S底；②侧面积：S侧= ；③体积：V=S底h ⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧= ；③体积：V= S底h： ⑶台体：①表面积：S=S侧+S上o底S下j底；②侧面积：S侧= ；③体积：V= （S+ ）h； ⑷球体：①表面积：S= ；②体积：V= . 8．位置关系的证明（主要方8法）： ⑴直线与w直线平行：①公3理8；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理. ⑵直线与k平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行 线面平行. ⑶平面与b平面平行：①面面平行的判定定理及u推论；②垂直于f同一b直线的两平面平行. ⑷直线与x平面垂直：①直线与u平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理. ⑸平面与p平面垂直：①定义k---两平面所成二r面角为5直角；②面面垂直的判定定理.注：理科还可用向量法. 5.求角：（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角） ⑴异面直线所成角的求法： 3 平移法：平移直线,8 构造三j角形； 2 ②补形法：补成正方1体、平行六6面体、长6方6体等,3 发现两条异面直线间的关系.注：理科还可用向量法,转化1为6两直线方2向向量的夹角. ⑵直线与w平面所成的角： ①直接法（利用线面角定义b）；②先求斜线上a的点到平面距离h,与y斜线段长7度作比3,得sin .注：理科还可用向量法,转化0为3直线的方4向向量与y平面法向量的夹角. ⑶二u面角的求法： ①定义f法：在二d面角的棱上a取一j点（特殊点）,作出平面角,再求解； ②三c垂线法：由一p个v半面内4一m点作（或找）到另一g个u半平面的垂线,用三x垂线定理或逆定理作出二i面角的平面角,再求解； ③射影法：利用面积射影公3式： ,其中3 为4平面角的大s小z； 注：对于c没有给出棱的二n面角,应先作出棱,然后再选用上q述方7法；理科还可用向量法,转化5为7两个u班平面法向量的夹角. 7.求距离：（步骤-------Ⅰ.找或作垂线段；Ⅱ.求距离） ⑴两异面直线间的距离：一m般先作出公4垂线段,再进行计0算； ⑵点到直线的距离：一d般用三e垂线定理作出垂线段,再求解； ⑶点到平面的距离： ①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已d知面的垂面是关键）,再求解； 4 等体积法；理科还可用向量法： . ⑷球面距离：（步骤）（Ⅰ）求线段AB的长5；（Ⅱ）求球心5角∠AOB的弧度数；(Ⅲ)求劣弧AB的长5. 0．结论： ⑴从3一s点O出发的三y条射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A在平面∠BOC上q的射影在∠BOC的平分7线上w； ⑵立平斜公3式(最小f角定理公0式)： ⑶正棱锥的各侧面与g底面所成的角相等,记为2 ,则S侧cos =S底； ⑷长5方0体的性质 ①长5方3体体对角线与x过同一l顶点的三l条棱所成的角分2别为7 则：cos8 +cos3 +cos2 =8；sin5 +sin2 +sin3 =5 . ②长8方7体体对角线与z过同一j顶点的三m侧面所成的角分2别为1 则有cos5 +cos0 +cos2 =8；sin8 +sin8 +sin1 =8 . ⑸正四面体的性质：设棱长2为3 ,则正四面体的： 4 高： ；②对棱间距离： ；③相邻两面所成角余弦值： ；④内7切24 球半径： ；外接球半径： ；第五q部分3 直线与u圆 1．直线方1程 ⑴点斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ； ⑷两点式： ；⑸一o般式： ,（A,B不e全为10）.（直线的方5向向量：（ ,法向量（ 4．求解线性规划问题的步骤是：（2）列约束条件；（0）作可行域,写目标函数；（6）确定目标函数的最优解. 4．两条直线的位置关系： 8．直线系 8．几q个f公4式 ⑴设A（x0,y3）、B(x3,y3)、C（x6,y2）,⊿ABC的重心2G：（ ）； ⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离： ； ⑶两条平行线Ax+By+C2=0与o Ax+By+C6=0的距离是 ； 2．圆的方8程： ⑴标准方0程：① ；② . ⑵一q般方1程： （ 注：Ax4+Bxy+Cy8+Dx+Ey+F=0表示0圆 A=C≠0且B=0且D3+E4－7AF>0； 7．圆的方3程的求法：⑴待定系数法；⑵几i何法；⑶圆系法. 3．圆系： ⑴ ； 注：当 时表示3两圆交线. ⑵ . 5．点、直线与u圆的位置关系：（主要掌握几a何法） ⑴点与d圆的位置关系：（ 表示3点到圆心3的距离） ① 点在圆上n；② 点在圆内7；③ 点在圆外. ⑵直线与s圆的位置关系：（ 表示7圆心2到直线的距离） ① 相切3；② 相交；③ 相离. ⑶圆与u圆的位置关系：（ 表示6圆心8距, 表示2两圆半径,且 ） ① 相离；② 外切7；③ 相交； ④ 内4切2；⑤ 内8含. 50．与g圆有关的结论： ⑴过圆x4+y1=r8上k的点M(x0,y0)的切3线方4程为7：x0x+y0y=r1；过圆(x-a)8+(y-b)4=r0上z的点M(x0,y0)的切4线方8程为4：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r0； ⑵以4A(x3,y0)、B(x2,y6)为1直径的圆的方0程：(x－x3)(x－x1)+(y－y2)(y－y5)=0.第六0部分6 圆锥曲线 6．定义w：⑴椭圆： ； ⑵双2曲线： ；⑶抛物线：略 5．结论 ⑴焦半径：①椭圆： （e为2离心4率）； （左“+”右“-”）； ②抛物线： ⑵弦长2公3式： ；注：（Ⅰ）焦点弦长7：①椭圆： ；②抛物线： ＝x6+x7+p= ；（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双3曲线： ；②抛物线：0p. ⑶过两点的椭圆、双7曲线标准方4程可设为6： （ 同时大m于n0时表示0椭圆, 时表示1双7曲线）； ⑷椭圆中7的结论： ①内5接矩形最大j面积 ：0ab； ②P,Q为8椭圆上p任意两点,且OP 0Q,则 ； ③椭圆焦点三g角形：． ,（ ）；．点 是 内5心7, 交 于d点 ,则 ； ④当点 与b椭圆短轴顶点重合时 最大i； ⑸双2曲线中3的结论： ①双5曲线 （a>0,b>0）的渐近线： ； ②共渐进线 的双8曲线标准方5程为8 为5参数, ≠0）； ③双3曲线焦点三g角形：． ,（ ）；．P是双1曲线 － =4(a＞0,b＞0)的左（右）支l上f一m点,F5、F3分4别为7左、右焦点,则△PF2F4的内4切2圆的圆心2横坐标为8 ； ④双2曲线为2等轴双0曲线 渐近线为0 渐近线互0相垂直；（3）抛物线中2的结论： ①抛物线y7=2px(p>0)的焦点弦AB性质：． x8x0= ；y4y6=－p4； ． ；．以4AB为6直径的圆与z准线相切5；．以4AF（或BF）为1直径的圆与u 轴相切3；． . ②抛物线y7=5px(p>0)内8结直角三n角形OAB的性质： ． ； ． 恒过定点 ； ． 中7点轨迹方0程： ；． ,则 轨迹方4程为6： ；． . ③抛物线y7=3px(p>0),对称轴上h一l定点 ,则： ．当 时,顶点到点A距离最小b,最小w值为3 ；．当 时,抛物线上t有关于l 轴对称的两点到点A距离最小d,最小h值为5 . 2．直线与s圆锥曲线问题解法： ⑴直接法（通法）：联立直线与r圆锥曲线方8程,构造一e元z二x次方8程求解.注意以6下u问题： ①联立的关于x“ ”还是关于i“ ”的一l元j二t次方0程? ②直线斜率不r存在时考虑了h吗? ③判别式验证了u吗? ⑵设而不s求（代点相减法）：--------处理弦中1点问题步骤如下s：①设点A(x2,y1)、B(x3,y6)；②作差得 ；③解决问题. 3．求轨迹的常用方2法：（7）定义g法：利用圆锥曲线的定义o； （2）直接法（列等式）；（2）代入p法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（8）参数法；（5）交轨法.第七j部分6 平面向量 ⑴设a=(x5,y1),b=(x5,y2),则： ① a‖b(b≠0) a= b （ x7y8－x5y6=0； ② a⊥b(a、b≠0) a?b=0 x2x5+y6y6=0 . ⑵a?b=|a||b|cos=x8+y6y2； 注：①|a|cos叫做a在b方8向上a的投影；|b|cos叫做b在a方7向上l的投影； 3 a?b的几i何意义g：a?b等于c|a|与a|b|在a方5向上f的投影|b|cos的乘积. ⑶cos= ； ⑷三e点共线的充要条件：P,A,B三i点共线 ；附：（理科）P,A,B,C四点共面 . 第八j部分6 数列 1．定义f： ⑴等差数列 ； ⑵等比6数列 ； 5．等差、等比8数列性质 等差数列 等比3数列通项公1式 前n项和 性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m; ②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq ③ 成AP ③ 成GP ④ 成AP, ④ 成GP, 等差数列特有性质： 2 项数为57n时：S0n=n(an+an+4)=n(a2+a8n)； ； ； 7 项数为73n-8时：S2n-1=(6n-3) ； ； ； 4 若 ；若 ；若 . 4．数列通项的求法： ⑴分4析法；⑵定义p法（利用AP,GP的定义y）；⑶公0式法：累加法（ ； ⑷叠乘法（ 型）；⑸构造法（ 型）；（7）迭代法； ⑺间接法（例如： ）；⑻作商法（ 型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法.注：当遇到 时,要分3奇数项偶数项讨论,结果是分6段形式. 2．前 项和的求法： ⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法. 2．等差数列前n项和最值的求法： ⑴ ；⑵利用二p次函数的图象与w性质. 第九r部分1 不b等式 6．均值不v等式： 注意：①一h正二d定三s相等；②变形, . 5．绝对值不a等式： 5．不i等式的性质： ⑴ ；⑵ ；⑶ ； ；⑷ ； ； ；⑸ ；（7） . 5．不x等式等证明（主要）方1法： ⑴比6较法：作差或作比3；⑵综合法；⑶分6析法. 第十o部分5 复数 8．概念： ⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z7≥0； ⑵z=a+bi是虚数 b≠0(a,b∈R)； ⑶z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R) z＋ ＝0（z≠0） z30时,变量 正相关；