高数的一道中值定理证明题不管b取何值,方程x(立方)-3x+b=0在区间[-1,1]上之多有一个实根

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 23:11:03
高数的一道中值定理证明题不管b取何值,方程x(立方)-3x+b=0在区间[-1,1]上之多有一个实根高数的一道中值定理证明题不管b取何值,方程x(立方)-3x+b=0在区间[-1,1]上之多有一个实根

高数的一道中值定理证明题不管b取何值,方程x(立方)-3x+b=0在区间[-1,1]上之多有一个实根
高数的一道中值定理证明题
不管b取何值,方程x(立方)-3x+b=0在区间[-1,1]上之多有一个实根

高数的一道中值定理证明题不管b取何值,方程x(立方)-3x+b=0在区间[-1,1]上之多有一个实根
首先,一元三次代数方程一定有实数根.
其次,设f(x)=x^3-3x+b,f'(x)=3x^2-3.当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,即f(x)在[-1,1]上单调减少.
所以方程x^3-3x+b=0在区间[-1,1]上至多有一个实根

设f(x)=x^3-3x+b,f'(x)=3x^2-3. 当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,即f(x)在(-1,1)上单调减少.
x=1时,f(x)=b-2,
x=-1时,f(x)=b+2,
f(1)所以f(x)在 [-1,1]上单调减少;
所以方程x^3-3x+b=0在区间[-1,1]上至多有一个实根。
当f(1)<=0,f(...

全部展开

设f(x)=x^3-3x+b,f'(x)=3x^2-3. 当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,即f(x)在(-1,1)上单调减少.
x=1时,f(x)=b-2,
x=-1时,f(x)=b+2,
f(1)所以f(x)在 [-1,1]上单调减少;
所以方程x^3-3x+b=0在区间[-1,1]上至多有一个实根。
当f(1)<=0,f(-1)>=0,,即b∈[-2,2],根据零点定理,存在x∈[-1,1],使得f(x)=0,即x^3-3x+b=0成立。

收起

解:令F(X)=x(立方)-3x+b,则F^(X)=3X(平方)-3
令F^(X)=0,则X=+_1所以在区间[-1,1]上递增.又
F(-1)=2+B F(1)=B-2 F(-1)所以B<0 当F(-1)<0且F(1)>0时有一根所以最多有一根