求这个幂级数的和函数

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/29 19:17:49
求这个幂级数的和函数求这个幂级数的和函数求这个幂级数的和函数令s=Ex^(4n-2)/(4n-2)(E表示求和符号)则s/x^2=Ex^(4n-2)/(4n-2)两边求导得:【s/x^2】’=E[x^

求这个幂级数的和函数
求这个幂级数的和函数

求这个幂级数的和函数
令s= E x^(4n-2)/(4n-2) (E表示求和符号)
则s/x^2 = E x^(4n-2)/(4n-2)
两边求导得:
【s/x^2】’ =E [x^(4n-2)/(4n-2)]’
= E x^(4n-3)
= E x^(4n) / x^3
因为
E x^(4n)=x^4 / (1-x^4) (等比数列求和)
所以
【s/x^2】’ = E x / (1-x^4)
两边积分:
s/x^2=∫x / (1-x^4) dx
= 0.5∫ 1 / (1-x^4) dx^2
所以:
s=x^2*0.5∫ 1 / (1-x^4) dx^2
令:t=x^2
则:
s=t*0.5∫ 1 / (1-t^2) dt
= t*0.5∫I /(1+t)(1-t) dt
= t*0.5∫[1/(1-t) – 1/(1+t)]dt
=0.5t {-ln (1-t) -ln(1+t)]= -0.5t ln [ (1-t) *(1+t)]
将t=x^2带入得 :
s= -0.5x^2* ln [ (1- x^2) *(1+ x^2)]