求幂级数的和函数问题!求幂级数的和函数,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 13:00:28
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求幂级数的和函数问题!
求幂级数
的和函数,
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令f=∑ (-1)^(n+1)n^2x^n
那么有,
f/x=∑ (-1)^(n+1)n^2x^(n-1)
同积分
∫(0,x) f(t)/t dt
=∫(0,x) ∑ (-1)^(n+1)n^2t^(n-1) dt
=∑ n*(-1)^(n+1) * ∫(0,x) n*t^(n-1) dt
=∑ n*(-1)^(n+1) * x^n
再令g=∑ n*(-1)^(n+1) * x^n
那么有,
g/x=∑ n*(-1)^(n+1) * x^(n-1)
同积分
∫(0,x) g(t)/t dt
=∫(0,x) ∑ n*(-1)^(n+1) * x^(n-1) dt
=∑ ∫(0,x) n*(-1)^(n+1) * x^(n-1) dt
=∑ (-1)^(n+1) * ∫(0,x) n*x^(n-1) dt
=∑ (-1)^(n+1) * x^n
=x-x^2+x^3-……
=x/(1+x)
于是,
g(x)/x=[x/(x+1)]'=1/(x+1)^2
g(x)=x/(1+x)^2
f(x)/x=[x/(1+x)^2]'=(1+2x-x^2) / (1+x)^4
f(x)=(x+2x^2-x^3)/(1+x)^4
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