求函数的幂级数展开式

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/21 20:39:55

求函数的幂级数展开式求函数的幂级数展开式求函数的幂级数展开式先求导数,导数之后就能用等比级数展开,在用逐项积分求出原函数的级数.arctan[(4+x^2)/(4-x^2)]''=1/{1+[(4+x^

求函数的幂级数展开式
求函数的幂级数展开式

求函数的幂级数展开式
先求导数,导数之后就能用等比级数展开,在用逐项积分求出原函数的级数.
arctan[(4+x^2)/(4-x^2)] '
=1/{1+[(4+x^2)/(4-x^2)]^2} * [(4+x^2)/(4-x^2)] '
最后化简得到
=16x / (2x^4+32)
(请帮忙检查一下有没有算对,我只写思路,不敢保证运算)
上下同时除以32
=(x/2) / [1+(x^4)/16]
这是一个首项是x/2,公比是-(x^4)/16的等比级数,所以
=(x/2) * {1 - (x^4)/16 + [(x^4)/16]^2 - [(x^4)/16]^3 +...}
= x/2 - (x/2)^5 + (x/2)^9 - (x/2)^13 + ...
=∑(n=0,∞) [(-1)^n] * [(x/2)^(1+4n)]
在对这个式子积分
原式的级数展开式就是：
=∑(n=0,∞) [(-1)^n] * [1/(1+2n)] * [(x/2)^(2+4n)]

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