已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的3/16,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 13:52:34
已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的3/16,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为?
已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的
3/16,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为?
已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的3/16,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为?
设两圆锥所在球体半径为R,则其面积为4πR^2,
再设圆锥底面圆半径为r,
于是圆锥底面积为3/16*4πR^2=3πR^2/4=πr^2,所以r=√3R/2
故arcsin(r/R)=60°,于是
体积较小者的高为1/2R,体积较大者的高为2R-1/2R=3R/2
故其比值为1/3.
答案：体积较小者的高与体积较大者的高的比值是1/3。
推导过程：
（“^”表示“2次方”，“√”表示“根号”）
设球体的半径为 R ，表面积为 S ；圆锥的底面半径为 r ，面积为 s 。那么，
S= 4 π R ^
s= π r ^
根据题意，π r ^ / 4 π R ^ =3/16
经整理，得
r ^ / R ^ =3/4 ，即...
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答案：体积较小者的高与体积较大者的高的比值是1/3。
推导过程：
（“^”表示“2次方”，“√”表示“根号”）
设球体的半径为 R ，表面积为 S ；圆锥的底面半径为 r ，面积为 s 。那么，
S= 4 π R ^
s= π r ^
根据题意，π r ^ / 4 π R ^ =3/16
经整理，得
r ^ / R ^ =3/4 ，即 r / R =√3 / 2 ，或 r = （√3/2）* R
设体积较小的锥形高为 h ，体积较大的锥形高为 H 。那么，
根据两个锥形在球体内的分布位置情况，以圆锥和球体的共同中轴线为中心切开，横截面为一个圆形，内有两个同底（底长为原锥形的底面直径 2 r）、但顶点分别在圆形直径的两个端点上的等腰三角形。题意要求的“体积较小者的高与体积较大者的高的比值”，就是这两个大小三角形的高的比值（ h / H ） 。
（以下内容为需要在原横截面图添加虚线辅助计算的部分。由于无法作图辅以说明，需要楼主发挥丰富的想象力啦）
以两三角形的公共底边为底边，以该圆形横截面的圆心为顶点，作一条虚线为斜边，使之成为一个直角三角形。已知该辅助三角形的斜边就是圆形（即被切开的球体）的直径 R ，底边为 r 。
根据勾股定律，该辅助三角形的另一条直角边a=√(R ^ - r ^) =√(R ^ - 3/4 R ^) = R/2
∵ a + h = R
∴ h = R - a = R - R/2 = R/2 ，H = R + a = R + R/2 = 3R/2
∴ h / H = (R/2) / (3R/2) = 1/3
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