（超难）求算数列极限已知实数数列An,满足递推公式A(n+1)=sin(An)+1,求lim(x→∞)An.经测试,这个极限确实存在,且与A1取值无关,请高手们试证.

（超难）求算数列极限已知实数数列An,满足递推公式A(n+1)=sin(An)+1,求lim(x→∞)An.经测试,这个极限确实存在,且与A1取值无关,请高手们试证.
（超难）求算数列极限
已知实数数列An,满足递推公式A(n+1)=sin(An)+1,求lim(x→∞)An.
经测试,这个极限确实存在,且与A1取值无关,请高手们试证.

（超难）求算数列极限已知实数数列An,满足递推公式A(n+1)=sin(An)+1,求lim(x→∞)An.经测试,这个极限确实存在,且与A1取值无关,请高手们试证.
因为：An=sin(An-1)+1属于[0,2]
在[-1,2]上sinx>x,所以sin(An-1)>An-1
所以An>An-1+1>An-1
所以An是增函数,单调有界,极限一定存在
由An=sinAn+1
即 x=sinx+1
解出x,即为极限.

晕 你先把题目弄正确再发啊 那个X是哪里来的?

sin(1)＋1

sin(1)+1

这个极限肯定存在,但是要证明却不容易.
An有界,但是不单调.令A1=1,下面是计算结果.
1.00000000000000
1.84147098480790
1.96359072454183
1.92384305244206
1.93832363904163
1.93321865653551
1.935040754389...

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这个极限肯定存在,但是要证明却不容易.
An有界,但是不单调.令A1=1,下面是计算结果.
1.00000000000000
1.84147098480790
1.96359072454183
1.92384305244206
1.93832363904163
1.93321865653551
1.93504075438949
1.93439319553526
1.93462368817282
1.93454169134957
1.93457086707749
1.93456048662593
1.93456417998483
1.93456286590132
1.93456333344886
1.93456316709683
1.93456322628442
1.93456320522564
1.93456321271829
1.93456321005243
1.93456321100094
1.93456321066346
1.93456321078353
1.93456321074081
1.93456321075601
1.93456321075061
1.93456321075253
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1.93456321075203
1.93456321075202
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1.93456321075202
sin(1)+1=A2=1.84147098480790
显然不是这个数列的极限.
这个函数的极限是超越方程x-1=sin(x)的根,可能么有办法用解析式表达.

收起

拜托!!!!
题目肯定错了...
浪费时间啊...
你想:令A1=0,那么不管怎样结果都是1...
难道极限是1???
不是...因为:
令A1=1时,下面是计算结果.
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1.84147098480790
1.96359072454183
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拜托!!!!
题目肯定错了...
浪费时间啊...
你想:令A1=0,那么不管怎样结果都是1...
难道极限是1???
不是...因为:
令A1=1时,下面是计算结果.
1.00000000000000
1.84147098480790
1.96359072454183
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1.93456321075601
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1.93456321075253
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1.93456321075200
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1.93456321075202
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1.93456321075202
1.93456321075202
sin(1)+1=A2=1.84147098480790
显然不是这个数列的极限.
这个函数的极限是超越方程x-1=sin(x)的根,可能么有办法用解析式表达.
可以了吗?
这就说明就算存在极限也与A1有关...

收起

数列的极限是 x=sinx+1的根，设根为W。 自然W=sinW+1
我们知道了这个事实，再来求证。
|An+1 - W|=|sin(An)+1-sinW-1|=|sin(An)-sinW|
=2|sin((An-W)/2)|*|cos((An+W)/2)|
注意n>=2时， 0W是常数，为了清楚起见，写...

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数列的极限是 x=sinx+1的根，设根为W。 自然W=sinW+1
我们知道了这个事实，再来求证。
|An+1 - W|=|sin(An)+1-sinW-1|=|sin(An)-sinW|
=2|sin((An-W)/2)|*|cos((An+W)/2)|
注意n>=2时， 0W是常数，为了清楚起见，写成1在这个范围计算cos((An+W)/2)可知|cos((An+W)/2)|另外|sin((An-W)/2)|<=|(An-W)/2|，
于是|An+1 - W|<=t|(An-W)|<=t^2|(An-1 -W)|<=……<=t^n|(A1 -W)|
数列Bn+1=t^n|(A1 -W)|是单调递减收敛于0的
令 Cn+1=0，常数列，也收敛于0
Cn+1<=|An+1 - W|<=Bn+1,夹逼定理可知lim(n→∞)|An+1 - W|=0
即lim(n→∞) An=W

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自己都说是超难的题了。
才给30分，我还是保留意见好了~~~~