数列题好难……已知数列1*2*3*……*k,2*3*4*……*k+1,……,则该数列的前n项和Sn=?

数列题好难……已知数列1*2*3*……*k,2*3*4*……*k+1,……,则该数列的前n项和Sn=?
数列题好难……
已知数列1*2*3*……*k,2*3*4*……*k+1,……,则该数列的前n项和Sn=?

数列题好难……已知数列1*2*3*……*k,2*3*4*……*k+1,……,则该数列的前n项和Sn=?
因为an=n(n+1)...(n+k-1),所以可裂项为an=1/k+1 * [(k+n)an-(k+n-1)a(n-1)],而a(n-1)=1/(k+1)*[(k+n-1)an-1 -(k+n-2)a(n-2)],所以sn=a1+(a2+...an)=a1+1/(k+1) * [(k+n)an-(k+1)a1)]=(k+n)n(n+1)...(k+n-1)/(k+1)=(k+n)!/[(n-1)!*(k+1)]
注:0!=1

an=n*(n+1)*……*(k+n-1)
=[1/(k+1)][(n-1)*n*……*(k+n-1)-n*(n+1)*……*(k+n-1)*(k+n)]
所以
Sn=1/(k+1)[2(k+1)!-n(n+1)……(n+k)]
=2k!-n(n+1)……(n+k)/(k+1)
搞定！