如图,已知:自Rt△ABC的直角顶点A作BC上的高AD.求证:AD+BC>AB+AC.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/04 09:57:50
如图,已知:自Rt△ABC的直角顶点A作BC上的高AD.求证:AD+BC>AB+AC.
如图,已知:自Rt△ABC的直角顶点A作BC上的高AD.求证:AD+BC>AB+AC.
如图,已知:自Rt△ABC的直角顶点A作BC上的高AD.求证:AD+BC>AB+AC.
支持4楼,如果没学过反证法,可以用以下方法证明:
由勾股定理,得AB²+ AC²= BC²
两边同时加上2AB*AC
(AB+AC)²= BC²+2AB*AC
由于Rt△ABC中,S=1/2*AD*BC=1/2*AB*AC
(AB+AC)²= BC²+2AD*BC,
由于BC²+2AD*BC
得(AB+AC)²< (AD+BC)²,变长都为正数
两边同时开方,AD+BC>AB+AC
由三角形性质可知 AD+BD>AB AD+CD>AC
两式相加得AD+BD+AD+CD>AC+AB
因为BC=BD+CD
所以AD+BC>AC+AB
Rt△ABC中,S=1/2*AD*BC=1/2*AB*AC
所以AD*BC=AB*AC
又BC>AB+AC
所以AD+BC>AB+AC
这个跟4*9=3*12,所以3+12>4+9的道理是一样的
求证:AD+BC>AB+AC。
可做等价变形(AD+BC)2> (AB+AC) 2
即 AD2+BC2+2*AD*BC>AB2+AC2+2*AB*AC
又有 AB2 + AC2 =BC2
所以上式变为:AD2 +2*AD*BC> 2*AB*AC
又有S△ ABC=1/2* AD*BC= 1/2* AB*AC...
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求证:AD+BC>AB+AC。
可做等价变形(AD+BC)2> (AB+AC) 2
即 AD2+BC2+2*AD*BC>AB2+AC2+2*AB*AC
又有 AB2 + AC2 =BC2
所以上式变为:AD2 +2*AD*BC> 2*AB*AC
又有S△ ABC=1/2* AD*BC= 1/2* AB*AC
所以上式变为: AD2 > 0 即可
显然,AD2 > 0 成立
所以得证
收起
两边之和小于第三边
AD+BC=AD+BD+CD
分别放在ADB和ADC两个三角形里。