大一数学：无理数指数幂通过确界原理定义后,得到的到底是一个有理数指数幂还是无理数指数幂?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/24 08:07:10

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楼上的想法可以,相当于用一个有理数序列去逼近这个无理数,但并没有明确地回答提问者的问题.你这个问题是有问题的.无理数指数幂当然是无理数指数幂.你想想以前从整数次幂是如何扩充定义到有理次幂的呢?以底数a>1的情形说明一下.设x是一个无理数,我们是这样定义a^x的：首先把小于x的所有有理数r找出来（当然需要在实数域上先引入序关系）,然后我们把所有的这些“a^r”做成一个集合A={a^r}.因为有理次幂是已经有定义的,所以A中的元素是确定的,且显然A非空,是实数集R的一个子集.又因为对于任意的一个无理数x,我们总可以找到一个比它大的有理数t,这样根据有理次幂的性质就有a^r

对于a^b，a>0，b是无理数，可以取整数列{P_n},{Q_n}使得P_n/Q_n -> b，然后a^(P_n/Q_n)是已经定义的(x^Q_n=a^P_n的正实数解)，然后就可以定义
a^b := lim a^(P_n/Q_n)

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