若a=2005×2006×2007×2008+1,判断a是否完全平方?如何解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 21:11:48
若a=2005×2006×2007×2008+1,判断a是否完全平方?如何解
若a=2005×2006×2007×2008+1,判断a是否完全平方?如何解
若a=2005×2006×2007×2008+1,判断a是否完全平方?如何解
a=2005×2006×2007×2008+1
=(2006-1)*(2006+1)*(2007-1)(2007+1)+1
=(2006^2-1)*(2007^2-1)+1
=2006^2*2007^2-2007^2-2006^2+1+1
=(2006*2007)^2-2*2006*2007+1+2*2006*2007-2007^2-2006^2+1
=(2006*2007-1)^2-(2006-2007)^2+1
=(2006*2007-1)^2-1+1
==(2006*2007-1)^2
所以a是2006*2007的平方
其实对于任意的4个连续自然数乘积,加上1,都是完全平方数,可以证明的.
x=2005,则
a=2005×2006×2007×2008+1
=x(x+1)(x+2)(x+3)+1
=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]+1
=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1
=(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)+1
=[(x^2+3x)+1]^2
所以a是一个完全平方数
从以上推理可以看出,对于任意的4个连续自然数乘积,加上1,都是完全平方数.
设x=2005,则
a=2005×2006×2007×2008+1
=x(x+1)(x+2)(x+3)+1
=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]+1
=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1
=(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)+1
=[(x^2+3x)+1]^2
所以a是一个完全平方数
从以上推理可以看出,对于任意的4个连续自然数乘积,加上1,都是完全平方数.
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[(n+1)(n+2)+1]^2
设2006.5=a
则2005*2006*2007*2008+1
=（a^2-1/4）（a^2-9/4）+1
=(a^2-5/4)^2
故任意四个连续自然数的积，均为完全平方数