已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R),(1)若f(1)=0,f(3)=0,求f(-1)的值；(2)若函数f(x)在[-2,+∞)上是单调增函数,且c=-b^2,求f(2)的取值范围；(3)若对任意x∈R,恒有f(x)≥2x+b,证明：当x≥0时,f(x)≤（x+c)^2.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 12:31:09
已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R),(1)若f(1)=0,f(3)=0,求f(-1)的值；(2)若函数f(x)在[-2,+∞)上是单调增函数,且c=-b^2,求f(2)的取值范围；(3)若对任意x∈R,恒有f(x)≥2x+b,证明：当x≥0时,f(x)≤（x+c)^2.
已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R),(1)若f(1)=0,f(3)=0,求f(-1)的值；(2)若函数f(x)在[-2,+∞)上是单调增函数,且c=-b^2,求f(2)的取值范围；(3)若对任意x∈R,恒有f(x)≥2x+b,证明：当x≥0时,f(x)≤（x+c)^2.
已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R),(1)若f(1)=0,f(3)=0,求f(-1)的值；(2)若函数f(x)在[-2,+∞)上是单调增函数,且c=-b^2,求f(2)的取值范围；(3)若对任意x∈R,恒有f(x)≥2x+b,证明：当x≥0时,f(x)≤（x+c)^2.
f(1)=b+c+1=0
f(3)=3b+c+9=0
b=-4
c=3
f(x)=x^2-4x+3
f(-1)=(-1)^2+4+3=8
由题意：对称轴-b/2<=-2 b>=4
因为c=-b^2
所以f(2)=4+2b+c=4+2b-b^2=-(b-1)^2+5
因为b>=4
所以-(b-1)^2+5<=-9+5=-4
所以f(2)的取值范围为(负无穷,-4]
f(x)>=2x+b恒成立
x^2+bx+c>=2x+b恒成立
x^2+(b-2)x+c-b>=0恒成立
判别式=(b-2)^2-4(c-b)<=0
b^2-4b+4-4c+4b<=0
b^2-4c+4<=0
c>=(b^2)/4+1
令p(x)=f(x)-(x+c)^2=x^2+bx+c-x^2-2cx-c^2=(b-2c)x+c-c^2,这是一条斜率为(b-2c),截距为c-c^2的直线
下面根据c>=(b^2)/4+1,考察斜率和截距的取值范围：
b-2c<=b-(b^2)/2-2=-[(b-1)^2]/2-3/2<=-3/2<0
因为c>=(b^2)/4+1>=1
所以c-c^2=1/4-(c-1/2)^2<=1/4-(1-1/2)^=0
所以直线的斜率小于0,单调减,且截距是小于等于0的
所以x>=0时,p(x)<=p(0)<=0
所以f(x)-(x+c)^2<=0
所以f(x)<=(x+c)^2
有哪里没看懂的再问我,记得采纳哦,亲!