已知函数f(t)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1.如题,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 08:27:06
已知函数f(t)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1.如题,
已知函数f(t)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1.
如题,
已知函数f(t)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1.如题,
(1)：设x=t,y=1则f(t+1)=f(t)+f(1)+3t(t+3)+3
=f(t)+3t(t+3)+4
f(t+1)-f(t)=3t(t+3)+4=3t^2+9t+4
f(2)-f(1)=3*1^2+9*1+4 ,(1)
f(3)-f(2)=3*2^2+9*2+4 ,(2)
f(4)-f(3)=3*3^2+9*3+4 ,(3)
...
f(t)-f(t-1)=3*(t-1)^2+9*(t-1)+4 ,(t-1)
f(t+1)-f(t)=3*t^2+9*t+4 ,(t)
(1)+(2)+(3)+...+(t-1)+(t)
得f(t+1)-f(1)=3*(1^2+2^2+3^2+...t^2)+9*(1+2+3+...+t)+4*t
=t(t+1)(2t+1)/2+9t(t+1)/2+4t
f(t+1)=(t+1-1)(t+1)(2(t+1)-1)/2+9(t+1-1)(t+1)/2+4(t+1-1)+1
所以f(t)=(t-1)t(2t-1)/2+9(t-1)t/2+4(t-1)+1
f(t)=(t-1)t(t+4)+4(t-1)+1
(2)：
(t-1)t(t+4)+4(t-1)+1=t
（t-1)t(t+4)+4(t-1)=t-1
若t1则t^2+4t+3=0
解得t=-1或t=-3
即t为-3,-1,1是首项为-3,公差为2的等差数列
解毕.
怎么只有已知条件？请问问题在哪？能写一下吗？拜托
：（1）∵f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3
当t为自然数时，让t从1，2，3，……t-1取值有
当t为自然数时，f(t)的解析式为 ，（t∈N）
（2）当t∈N时，
当t=0时，在f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3中，
令x=y=0知f(0)=f(0)+...
全部展开
：（1）∵f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3
当t为自然数时，让t从1，2，3，……t-1取值有
当t为自然数时，f(t)的解析式为 ，（t∈N）
（2）当t∈N时，
当t=0时，在f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3中，
令x=y=0知f(0)=f(0)+f(0)+3得f(0)=-3
当t∈Z时，-t∈N，由f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3知
得
综上所述，当t∈Z时，
∵f(t)=t，
成等差数列，此数列为1，-1，-3或-3，-1，1
（3）当t∈Z时， ，由 恒成立知
∴(t-1)(t+1)(t+3)≥m(t+1)(t+3)
∵t≥4 ∴(t+1)(t+3)>0，∴t-1≥m恒成立 ∴m≤3
∴m的最大值是3。
收起
答案： f(x)=x^3+3x^3-3
令 G(x)=f(x)-(x^3+3x^3-3)
则 G(x+y)=G(x)+G(y), G(1)=0 这是经典的Cauchy 函数方程。
如果假设f是连续函数，则G(x)=0, 即 f(x)=x^3+3x^3-3
以后有不懂的数学问题都可以直接问我的。 有问必答。