一道数列题,急救已知书列{an},其中a1=1,a2=3,2an=a(n+1)+a(n-1)(n大于等于2）,记数列{an}的前n项和为Sn,数列{1/更号（SnS(n+1)）的前n项和为Un.(1)求通项公式an:(2)求Un
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 01:09:43
一道数列题,急救已知书列{an},其中a1=1,a2=3,2an=a(n+1)+a(n-1)(n大于等于2）,记数列{an}的前n项和为Sn,数列{1/更号（SnS(n+1)）的前n项和为Un.(1)求通项公式an:(2)求Un
一道数列题,急救
已知书列{an},其中a1=1,a2=3,2an=a(n+1)+a(n-1)(n大于等于2）,记数列{an}的前n项和为Sn,数列{1/更号（SnS(n+1)）的前n项和为Un.
(1)求通项公式an:(2)求Un
一道数列题,急救已知书列{an},其中a1=1,a2=3,2an=a(n+1)+a(n-1)(n大于等于2）,记数列{an}的前n项和为Sn,数列{1/更号（SnS(n+1)）的前n项和为Un.(1)求通项公式an:(2)求Un
2an=a(n+1)+a(n-1)
得到a(n+1)-an=an-a(n-1)
即{an} 是一个等差数列,公差d=a2-a1=2
an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
Sn=(a1+an)n/2=(1+2n-1)n/2=n^2
bn=1/根号SnS(n+1)=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
Un=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)
2an=a(n+1)+a(n-1)(n大于等于2）
即an-a(n-1)=a(n+1)-an
故an为等差数列
由a1=1,a2=3
得an=2n-1
得Sn=n^2
故根号(SnS(n+1))=n(n+1)=n+n^2
故Un=(1+2+...+n)+(1^2+2^2+...+n^2)=(n+1)n/2 + n(n+1)(2n+1)/6
再化简一下即可
(1)由2an=a(n+1)+a(n-1)得a(n+1)-an=an-a(n-1)且a2-a1=3-1=2
故{an}为公差为2的等差数列
通项公式an=2n-1,Sn=n^2
(2)由：1/更号（SnS(n+1)）=1/[n*(n+1)]知：
Un=1/(1*2)+1/(2*3)+.....+1/[n*(n+1)]
=1/1-1/2+1/2-1/3+....+1/n-1/(n+1)]
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)