高一数学直线X+2Y-3=0与圆X^2+Y^2+X-6Y+F=0直线X+2Y-3=0与圆X^2+Y^2+X-6Y+F=0交于P,Q两点,O为原点,问F为何值时,OP垂直OQ.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/03 15:21:56
高一数学直线X+2Y-3=0与圆X^2+Y^2+X-6Y+F=0直线X+2Y-3=0与圆X^2+Y^2+X-6Y+F=0交于P,Q两点,O为原点,问F为何值时,OP垂直OQ.
高一数学直线X+2Y-3=0与圆X^2+Y^2+X-6Y+F=0
直线X+2Y-3=0与圆X^2+Y^2+X-6Y+F=0交于P,Q两点,O为原点,问F为何值时,OP垂直OQ.
高一数学直线X+2Y-3=0与圆X^2+Y^2+X-6Y+F=0直线X+2Y-3=0与圆X^2+Y^2+X-6Y+F=0交于P,Q两点,O为原点,问F为何值时,OP垂直OQ.
设P（X1,Y1）,Q（X2,Y2）
连列x+2y-3=0, x²+y²+x-6y+F=0
所以,5Y²-20Y+3+F＝0
根据韦达定理：Y1+Y2＝4,YI*Y2＝（12+F）／5
同理：X1*X2＝4*（3+F）／5-24+9＝（4F-27）／5
因为OP⊥OQ,
∴YI*Y2／XI*X2＝-1 ===>12+F＝27-4F ===>5F＝15
∴F＝3
直线 X+2Y-3=0 与圆X²+Y²+X-6Y+F=0 交于P，Q两点
有直线:X=3-2Y,把这个式子代入圆的方程,就得到:
(3-2Y)²+Y²+(3-2Y)-6Y+F=0
就是:5Y²-20Y+12+F=0------(*)
设直线与圆相交的两个点的坐标的纵坐标设为y1,y2
那么这两个点就是P(3-...
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直线 X+2Y-3=0 与圆X²+Y²+X-6Y+F=0 交于P，Q两点
有直线:X=3-2Y,把这个式子代入圆的方程,就得到:
(3-2Y)²+Y²+(3-2Y)-6Y+F=0
就是:5Y²-20Y+12+F=0------(*)
设直线与圆相交的两个点的坐标的纵坐标设为y1,y2
那么这两个点就是P(3-2y1,y1),Q(3-2y2,y2)
再因为当OP垂直OQ时,直线OP与直线OQ的斜率乘积是-1
那么就得到:
(y1-0)/(3-2y1-0)*(y2-0)/(3-2y2-0)=-1
[(0,0)是原点O的坐标]
上面这个式子再化成:
y1y2=-(3-2y1)(3-2y2)=-(9-6y1-6y2+4y1y2)
6(y1+y2)-5y1y2-9=0
此时是由于y1和y2是满足上面方程(*)的两个根
那么有:y1+y2=4,y1y2=(12+F)/5
再代入就有:
6*4-5*(12+F)/5-9=0
就是
24-12-F-9=3-F=0
就得到
F=3
收起