写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是1,4,10,22...(写出求证过程)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 07:26:23
写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是1,4,10,22...(写出求证过程)
写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是1,4,10,22...(写出求证过程)
写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是1,4,10,22...(写出求证过程)
a(n)=3*2^(n-1)-2
证明 (1)当n=1时 a(1)=3*2^(1-1)-2=1 符合题设
(2)假设当n=k时 a(k)=3*2^(k-1)-2成立
则a(k+1)=a(k)*2+2=3*2^(k)-2成立
所以 对于任意正整数n a(n)=3*2^(n-1)-2均成立
1,4,10,22……
差为 3，6，12……
3*2^0-2,3*2^1-2,3*2^2-2
的通项公式为3*2^(n-1)-2
A(n+2)=2[A(n+1)+A(n)]（括号里为下标）
观察前四项可得它们的差为等比数列，3,6,12..........不难求出，这个等比数列的通式为3*2^(n-1), 所以该数列为3*2^(n-1)-2
1+3=4
4+6=10
10+12=22
22+24=46
An=A(n-1)+3*2^(n-1)
叠加
An=1+3+6+12+....
下面就不用说了。
4-1=3
10-4=6
22-10=12
那么就有第归公式
A(n+1)-An=3*2^(n-1)
于是当n>=2时
An=1+3+6+12+...+3*2^(n-2)
=1+3*2^(n-1)-3
=3*2^(n-1)-2
当n=1时上述公式也成立
因此通项公式是
An=3*2^(n-1)-2
a2-a1=3;
a3-a2=6;
a4-a3=12;
....
a(n)-a(n-1)=3*2^(n-2);
左右两端分别相加，左端得a(n)-a1.右端是首项为3，公比为2的等比数列前n-1项和，得
a(n)-a1=3*[2^(n-1)-1],移项得
a(n)=3*2^(n-1)-2
差值法
0 _ -1/2
1 _ 1 _ 3/2
2 _ 4 _ 3
3 _ 10 _ 6
4 _ 22 _ 12
n _ an _ bn
可看出 bn=3*2^(n-2)
bn的前N项和=1.5*（2^n-1)
再进一步可得到an=bn的前N项和=1.5*2^n-2