已知X1=4,X2=12,Xn=4X(n-1) - 4X(n-2)(n=3,4,5...).求数列Xn 的通项公式和Sn.其中n,n-1,n-2是下标
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/10/06 01:05:19
已知X1=4,X2=12,Xn=4X(n-1) - 4X(n-2)(n=3,4,5...).求数列Xn 的通项公式和Sn.其中n,n-1,n-2是下标
已知X1=4,X2=12,Xn=4X(n-1) - 4X(n-2)(n=3,4,5...).求数列Xn 的通项公式和Sn.其中n,n-1,n-2是下标
已知X1=4,X2=12,Xn=4X(n-1) - 4X(n-2)(n=3,4,5...).求数列Xn 的通项公式和Sn.其中n,n-1,n-2是下标
n≥3
∵Xn=4X(n-1) - 4X(n-2)
∴xn-2x(n-1)=2x(n-1)-4x(n-2)=2[x(n-1)-2x(n-2)]
∴[xn-2x(n-1)]/[x(n-1)-2x(n-2)] = 2
∴数列{xn-2x(n-1)}是等比数列,公比为2
首项为x2-2x1=12-8=4
∴n≥2时,
xn-2x(n-1)=(x2-x1)*2^(n-2)
=4*2^(n-2)=2^n
即xn-2x(n-1)=2^n
两边同时除以2^n
∴xn/2^n -x(n-1)/2^(n-1)=1
∴{xn/2^n}为等差数列,公差为1
∴xn/2^n=x1/2+(n-1)=n+1
∴xn=(n+1)*2^n
Sn=2*2+3*4+4*8+.+(n+1)*2^n ①
2Sn=2*4+3*8+4*16+.+n*2^n+(n+1)*2^(n+1) ②
①-②:
-Sn=4+4+8+16+.+2^n-(n+1)*2^(n+1)
=4+4[(2^(n-1)-1]-(n+1)*2^(n+1)
=2^(n+1)-(n+1)*2^(n+1)
=-n*2^(n+1)
∴Sn=n*2^(n+1)
Xn-2X(n-1)=2(X(n-1)-X(n-2)),
Xn-2X(n-1)是以X2-2X1=4为首项,以2为公比的等比数列,
Xn-2X(n-1)=4×2^(n-2)=2^n。于是
Xn- 2X(n-1)=2^n,
2X(n-1)-2^2X(n-2)=2^n
2^2X(n-2)-2^3X(n-3)=2^n.....
2^(n-2)...
全部展开
Xn-2X(n-1)=2(X(n-1)-X(n-2)),
Xn-2X(n-1)是以X2-2X1=4为首项,以2为公比的等比数列,
Xn-2X(n-1)=4×2^(n-2)=2^n。于是
Xn- 2X(n-1)=2^n,
2X(n-1)-2^2X(n-2)=2^n
2^2X(n-2)-2^3X(n-3)=2^n.....
2^(n-2)X2-2^(n-1)X1=2^n,
相加得
Xn=(n-1)*2^n+2^(n-1)X1=(n+1)*2^n。
经验证,上式对所有的n成立。
Sn=2*2+3*2^2+4*2^3+....+(n+1)*2^n,
2Sn= 2*2^2+3*2^3+.....+n*2^n+(n+1)*2^(n+1),
两式相减得
-Sn=4+2^2+2^3+....+2^n-(n+1)*2^(n+1),因此Sn=n*2^(n+1)。
收起
Xn =(n+1)乘以2的n次方
Sn=n乘以(2的n次方)
x3=4x2-4x1=4×12-4×4=32
n≥3时,
xn=4x(n-1)-4x(n-2)
xn-2x(n-1)=2x(n-1)-4x(n-2)=2[x(n-1)-2x(n-2)]
[xn-2x(n-1)]/[x(n-1)-2x(n-2)]=2,为定值。
x2-2x1=12-2×4=4
数列{x(n+1)-2xn}是以4为首项,2为公比...
全部展开
x3=4x2-4x1=4×12-4×4=32
n≥3时,
xn=4x(n-1)-4x(n-2)
xn-2x(n-1)=2x(n-1)-4x(n-2)=2[x(n-1)-2x(n-2)]
[xn-2x(n-1)]/[x(n-1)-2x(n-2)]=2,为定值。
x2-2x1=12-2×4=4
数列{x(n+1)-2xn}是以4为首项,2为公比的等比数列。
x(n+1)-2xn=4×2^(n-1)=2^(n+1)
x(n+1)=2xn+2^(n+1)
等式两边同除以2^(n+1)
x(n+1)/2^(n+1)=xn/2^n +1
x(n+1)/2^(n+1) -xn/2^n=1,为定值。
x1/2^1=4/2=2
数列{xn/2^n}是以2为首项,1为公差的等差数列。
xn/2^n =2+(n-1)=n+1
xn=(n+1)×2ⁿ
n=1时,x1=(1+1)×2=4,满足;n=2时,x2=(2+1)×2²=3×4=12,满足。
n=3时,x3=(3+1)×2³=4×8=32,满足。
综上,得数列{xn}的通项公式为xn=(n+1)×2ⁿ
xn=(n+1)×2ⁿ=n×2ⁿ+2ⁿ
Sn=x1+x2+...+xn=(1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ)+(2+2+...+2ⁿ)
令Cn=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
则2Cn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Cn-2Cn=-Cn=2+2²+2³+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
Cn=n×2^(n+1) -(2+2²+...+2ⁿ)
Sn=Cn+(2+2+...+2ⁿ)
=n×2^(n+1) -(2+2²+...+2ⁿ)+(2+2²+...+2ⁿ)
=n×2^(n+1)
收起