（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A,与y轴交于点C,点B的坐标为（a,0）,（其中a＞0）,直线l过动点M（0,m）（0＜m＜2）,且与x轴平行,并与直线AC、BC分别相交

（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A,与y轴交于点C,点B的坐标为（a,0）,（其中a＞0）,直线l过动点M（0,m）（0＜m＜2）,且与x轴平行,并与直线AC、BC分别相交
（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A,与y轴交于点C,
点B的坐标为（a,0）,（其中a＞0）,直线l过动点M（0,m）（0＜m＜2）,且与x轴平行,并与直线AC、BC分别相交于点D、E,P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE,直线PD与x轴交于点Q,连接PA．
（1）写出A、C两点的坐标；
（2）当0＜m＜1时,若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK,则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形）,求出m的值；
（3）当1＜m＜2时,是否存在实数m,使CD•AQ=PQ•DE?若能,求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能,请说明理由．

细致一点，特别是第一小题

（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A,与y轴交于点C,点B的坐标为（a,0）,（其中a＞0）,直线l过动点M（0,m）（0＜m＜2）,且与x轴平行,并与直线AC、BC分别相交
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解；
（2）如答图1所示,解题关键是求出点P、点Q的坐标,然后利用PA=2PQ,列方程求解；
（3）如答图2所示,利用相似三角形,将已知的比例式转化为：
CD
DE
＝
PQ
AQ
,据此列方程求出m的值．
（1）在直线解析式y=2x+2中,令y=0,得x=-1；x=0,得y=2,
∴A（-1,0）,C（0,2）；
（2）当0＜m＜1时,依题意画出图形,如答图1所示．
∵PE=CE,∴直线l是线段PC的垂直平分线,
∴MC=MP,又C（0,2）,M（0,m）,
∴P（0,2m-2）；
直线l与y=2x+2交于点D,令y=m,则x=
m−2
2
,∴D（
m−2
2
,m）,
设直线DP的解析式为y=kx+b,则有
b＝2m−2
k•
m−2
2
+b＝m
,解得：k=-2,b=2m-2,
∴直线DP的解析式为：y=-2x+2m-2．
令y=0,得x=m-1,∴Q（m-1,0）．
已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形,由图可知,PA=2PQ,
∴
OA2+OP2
＝2
OP2+OQ2
,即
1+(2m−2)2
＝2
(2m−2)2+(m−1)2
,
整理得：（m-1）2=
1
16
,解得：m=
5
4
（
5
4
＞1,不合题意,舍去）或m=
3
4
,
∴m=
3
4
．
（3）当1＜m＜2时,假设存在实数m,使CD•AQ=PQ•DE．
依题意画出图形,如答图2所示．
由（2）可知,OQ=m-1,OP=2m-2,由勾股定理得：PQ=
5
（m-1）；
∵A（-1,0）,Q（m-1,0）,B（a,0）,∴AQ=m,AB=a+1；
∵OA=1,OC=2,由勾股定理得：CA=
5
．
∵直线l∥x轴,∴△CDE∽△CAB,
∴
CD
DE
＝
CA
AB
；
又∵CD•AQ=PQ•DE,∴
CD
DE
＝
PQ
AQ
,
∴
CA
AB
＝
PQ
AQ
,即
5
a+1
＝
5
(m−1)
m
,
解得：m=
a+1
a
．
∵1＜m＜2,∴当0＜a≤1时,m≥2,m不存在；当a＞1时,m=
a+1
a
．
∴当1＜m＜2时,若a＞1,则存在实数m=
a+1
a
,使CD•AQ=PQ•DE；若0＜a≤1,则m不存在．
点评：本题是代数几何综合题,考查了坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、解方程等知识点．题目综合性较强,有一定的难度．第（3）问中,注意比例式的转化
CD
DE
＝
PQ
AQ
,这样可以