已知圆O1与圆O2都过点A,AO1是圆O2的切线,圆O1交O1O2于点B,连结AB并延长交圆O2于点C,连结O2C1、求证：O2C⊥O1O2；2、证明：AB*BC=2O2B*BO1;3、如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 16:54:14
已知圆O1与圆O2都过点A,AO1是圆O2的切线,圆O1交O1O2于点B,连结AB并延长交圆O2于点C,连结O2C1、求证：O2C⊥O1O2；2、证明：AB*BC=2O2B*BO1;3、如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长
已知圆O1与圆O2都过点A,AO1是圆O2的切线,圆O1交O1O2于点B,连结AB并延长交圆O2于点C,连结O2C
1、求证：O2C⊥O1O2；
2、证明：AB*BC=2O2B*BO1;
3、如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长
已知圆O1与圆O2都过点A,AO1是圆O2的切线,圆O1交O1O2于点B,连结AB并延长交圆O2于点C,连结O2C1、求证：O2C⊥O1O2；2、证明：AB*BC=2O2B*BO1;3、如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长
△∵∴⊥∥∠⊙≌∽°
辅助线：延长BO1交O1于点D；
（1）O2C⊥O1O2；
∵BD是直径
∴∠BAD=90°
∵AO1是圆O2的切线
∴O2A⊥O1A
∴∠O2AB=∠ADB（弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角）
∵O2A=O2C=半径
∴∠O2AB=∠O2CB
∴∠O2CB=∠ADB
再加上一组对顶角相等；
∴△CBO2∽△DBA
∴CO2B=90,O2C⊥O1O2；
（2）AB*BC=O2B*BD
我们上面已经证明了△CBO2∽△DBA,根据对应边成比例则有：
BC/O2B=DB/AB
而DB=2BO1（直径与半径的关系）将其代入上式,并十字相乘变形,即可得出结论.
（3）如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长
根据圆割线定理,在上图中有如下关系：
O2B*O2D=O2A*O2A
O2D=O2B+BD代入上式后：
O2B*（O2B+BD）=O2A*O2A,
变形打开括号后：O2B*O2B+O2B*BD=O2A*O2A,
上列式子中,已知O2A=O2C=4；O2B*BD=2O2B*BO1=AB*BC=12；仅有O2B是未知,代入即可求得O2B
O2B*O2B+12=16
解得O2B=2
将O2B=2再代入O2B*BD=2O2B*BO1=AB*BC=12中,得出BD=6,则O1A=3