连续两个自然数之积一定能被2整除,连续3个自然数之积一定能被?整除,连续四个自然数之积一定能被?整除答案分别是6和24,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 13:25:32
连续两个自然数之积一定能被2整除,连续3个自然数之积一定能被?整除,连续四个自然数之积一定能被?整除答案分别是6和24,
连续两个自然数之积一定能被2整除,连续3个自然数之积一定能被?整除,连续四个自然数之积一定能被?整除
答案分别是6和24,
连续两个自然数之积一定能被2整除,连续3个自然数之积一定能被?整除,连续四个自然数之积一定能被?整除答案分别是6和24,
先解释一下为什么“连续两个自然数之积一定能被2整除”：
对于所有的自然数,可以划分为2类,分别是被2除余0的和被2除余1的,即通常说的偶数和奇数,而相邻的两个数,必为1奇1偶,分别属于这两类.换言之,相邻的两个数必有1个被2除余0,也就是能被2整除,是2的倍数.因此这2个数的积一定能被2整除.
类似的,对于所有的自然数,可以划分为k类（其中k是正整数）,分别是被k除余0的、余1的.余（k－1）的,而相邻的k个数,一定分别属于这k类,所以,相邻的k个自然数中必有1个数是k的倍数,因而相邻k个自然数的乘积一定能被k整除.
现在解释提出的问题：
对于连续的3个自然数,由上述分析知一定有1个是3的倍数,它们的乘积能被3整除；而只看前2个数,就成了相邻的2个自然数,一定有1个是2的倍数,于是它们的乘积能被2整除；又知道2和3是互质,因此它们的乘积一定能被6（＝2x3）整除.
对于连续的4个自然数,同样的,一定有1个数能被4整除,它们的乘积也就能被4整除.而在剩下的3个数中,由上述分析易知一定有一个数被4除余2,也就是能被2整除,因而它们的乘积能被8整除；与此同时,类似于3个数的情况,我们可以得知这4个数中至少有1个数能被3整除,因而它们的乘积能被3整除；而8与3互质,所以它们的乘积一定能被24整除.
可以到网上搜到这样的定理：对于任意连续n个自然数,它们的乘积一定能被n!整除.
其中n!＝n（n－1）（n－2）...x2x1
如3!＝3x2x1＝6
4!＝4x3x2x1＝24
并且规定0!＝1
另外,可以用代数式帮助分析：
设3个连续自然数为3n,3n＋1,3n＋2,
它们的乘积S＝3n（3n＋1）（3n＋2）显然能被3整除；同时3n与3n＋1之积能被2整除,因此S能被6整除.
4个数的情况类似,从略.