椭圆的证明题如图,椭圆的两切线为PA,PB.过P作椭圆的一条割线交椭圆于C,D,且与AB交于点Q求证：PQ是PC,PD的调和平均.注：图中字母有点问题,我把PCD与AB的交点也标成P了
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 02:58:24
椭圆的证明题如图,椭圆的两切线为PA,PB.过P作椭圆的一条割线交椭圆于C,D,且与AB交于点Q求证：PQ是PC,PD的调和平均.注：图中字母有点问题,我把PCD与AB的交点也标成P了
椭圆的证明题
如图,椭圆的两切线为PA,PB.过P作椭圆的一条割线交椭圆于C,D,且与AB交于点Q
求证：PQ是PC,PD的调和平均.
注：图中字母有点问题,我把PCD与AB的交点也标成P了
椭圆的证明题如图,椭圆的两切线为PA,PB.过P作椭圆的一条割线交椭圆于C,D,且与AB交于点Q求证：PQ是PC,PD的调和平均.注：图中字母有点问题,我把PCD与AB的交点也标成P了
分析：由于椭圆是圆柱面与平面的交线,因此此题可放到空间中解决.
作椭圆的正投影,投影成圆,在圆中解决这个问题.
而在圆中,可用“调和平均×算术平均=几何平均的平方”来证明
证明：作椭圆的正投影,对应点加＇（我的图忘加了）,设直线PQ与圆所在平面的夹角为α.
∵C,D,Q∈直线PQ,∴P’Q‘=PQcosα,P’C‘=PCcosα,P’D‘=PDcosα
圆O’中,过O‘作O’E‘⊥P’D‘,则E’为C‘D’中点,∴P‘E’=½（P‘C’+P‘D’）
连接P‘O’,交A‘B’于F‘,则P’O‘⊥A’B‘
由切割线定理,P‘A’²=P'C'×P’D‘——①
∵P’A‘是○O’的切线,∴O‘A’⊥P‘A’
Rt△P‘O’A‘中,由射影定理P’F‘×P’O‘=P’A‘²——②
Rt△P’F’Q’和Rt△P‘O’E‘中,用三角函数易得P’Q‘×P’E‘=P’F‘×P’O‘——③
联立以上三式,可得P’Q‘×P’E‘=P’C‘×P'D'
∵P’E‘是P’C‘,P’D‘的算术平均,P'C'×P'D'是P’C‘,P’D‘几何平均的平方
∴P‘Q’是P‘C’,P‘D’的调和平均.
即PQcosα是PCcosα和PDcosα的调和平均
约去cosα,得PQ是PC,PD的调和平均
注：调和平均×算术平均=几何平均²的证明
调和平均=2ab/(a+b),算术平均=½（a+b）
∴调和平均×算术平均=几何平均²
椭圆的几何证明中,往往可以放到空间中,作它的正投影,化为圆的几何证明.我感觉圆锥曲线
的几何证明都可以采用这种方法,不过需要的是中心投影.推荐一本书《圆锥曲线论》.