已知二次函数y=ax^2-4x+c的图象与坐标轴交点A（-1,0)和点B（0,-5）,在函数图象的对称轴上存在一点P,使三角形ABP的周长最小,求点P的坐标
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/31 02:44:55
已知二次函数y=ax^2-4x+c的图象与坐标轴交点A（-1,0)和点B（0,-5）,在函数图象的对称轴上存在一点P,使三角形ABP的周长最小,求点P的坐标
已知二次函数y=ax^2-4x+c的图象与坐标轴交点A（-1,0)和点B（0,-5）,在函数图象的对称轴上存在一点P,使三角形ABP的周长最小,求点P的坐标
已知二次函数y=ax^2-4x+c的图象与坐标轴交点A（-1,0)和点B（0,-5）,在函数图象的对称轴上存在一点P,使三角形ABP的周长最小,求点P的坐标
因函数图像过A,B两点,所以将A,B两点坐标代入方程得如下方程组：
0=a+4+c
-5=0-0+c
解得a=1,c=-5
则函数解析式为：y=x^2-4x-5
对称轴x=2
A点关于x=2的对称点为A[5,0]
连接B,A',与x=2相交于点P,
直线BA'所在直线方程可设为y=kx+b,将B、A'的坐标分别代入得
-5=b
0=5k+b
k=1
则直线BA'的解析式为：y=x-5
当x=2时,y=-3
所以P点坐标为（2,-3）
将点A（-1,0),点B（0,-5）分别代入二次函数解析式，解得a=1,c=-5
故y=x²-4x-5,对称轴为x=2
要使三角形ABP的周长最小，即AP+PB最小，设点B'为点B关于对称轴对称的函数图像上的点，则为B'（4,-5),AP+PB≥AB'.即AP+PB最小值为AB',AB'的斜率k=-5/5=-1
∴AB'的直线方程为y=-(x+1)=-x-1
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将点A（-1,0),点B（0,-5）分别代入二次函数解析式，解得a=1,c=-5
故y=x²-4x-5,对称轴为x=2
要使三角形ABP的周长最小，即AP+PB最小，设点B'为点B关于对称轴对称的函数图像上的点，则为B'（4,-5),AP+PB≥AB'.即AP+PB最小值为AB',AB'的斜率k=-5/5=-1
∴AB'的直线方程为y=-(x+1)=-x-1
当x=2时,y=-3
故点P(2,-3)
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