一道高中数学题：已知函数f(x)=|x|-3,关于x的方程f^2(x)-4|f(x)|+k=0恰有8个不同的实根,实数k的取值范围答案是（3,4）,请解析一下
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 03:03:55
一道高中数学题：已知函数f(x)=|x|-3,关于x的方程f^2(x)-4|f(x)|+k=0恰有8个不同的实根,实数k的取值范围答案是（3,4）,请解析一下
一道高中数学题：已知函数f(x)=|x|-3,关于x的方程f^2(x)-4|f(x)|+k=0恰有8个不同的实根,实数k的取值范围
答案是（3,4）,请解析一下
一道高中数学题：已知函数f(x)=|x|-3,关于x的方程f^2(x)-4|f(x)|+k=0恰有8个不同的实根,实数k的取值范围答案是（3,4）,请解析一下
思路：将 f^2(x)-4|f(x)|+k 化简为两个相对熟知的函数 t=|x|-3 和 t^2-4|t|+k ,然后讨论 方程t^2-4|t|+k=0 的根的情况.
f^2(x)-4|f(x)|+k=0 最多有8个不同根, f(x)=|x|-3 当f(x)在值域中取值时有可能存在1个或2个根,仅当f(x)>-3时,x对应2个值.
由此得出,t=|x|-3 要使t取一个值时有2个x与之对应,必须有t>-3,而且t不同时必有2个不同的x与之对应
于是问题转化为讨论 方程t^2-4|t|+k=0 有4个不同的根的情况
解题：
设函数t=f(x)=|x|-3
所以 t>-3 时必有 2个x与t值相对应,并且t值不同,x对应的值也一定不同
t^2-4|t|+k 的函数图像,由图所示,2个开口向上的抛物线,以y轴对称,类似一个W型的曲线,定义域为 t>-3的一段.
要使其取4个不同的值,也就是与x轴有4个交点,
需要（1）对称轴x=2时的最小值小于0 （2）当t=-3时,函数值大于0即可
列出不等式
（1）2*2-4*2+k<0
（2）(-3)-4*(-3)>0
综合（1）（2）得出
3<k<4
整理即方程:x-a 1-ln(1 x)^2=0,在[0,2]上有两异根记h(x)h(0)=1-a
+结合图像，t=|f(x)|只能取（2,3），因此k=-t^2+4t则最大值为k(2)=4,最小值为k(3)=3,因此是（3,4）
.............
设|f(x)|=t,则关于t的方程t^2-4t+K=0必须有两个不同的正根，判别式大于零且两根之和两根之积都大于零解得0