已知数列(An)的前n项和为Sn,若点(Sn,An)在直线y=-2x+1上.求数列(An)的通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 02:55:49
已知数列(An)的前n项和为Sn,若点(Sn,An)在直线y=-2x+1上.求数列(An)的通项公式已知数列(An)的前n项和为Sn,若点(Sn,An)在直线y=-2x+1上.求数列(An)的通项公式

已知数列(An)的前n项和为Sn,若点(Sn,An)在直线y=-2x+1上.求数列(An)的通项公式
已知数列(An)的前n项和为Sn,若点(Sn,An)在直线y=-2x+1上.求数列(An)的通项公式

已知数列(An)的前n项和为Sn,若点(Sn,An)在直线y=-2x+1上.求数列(An)的通项公式
An=-2Sn+1 n=1时S1=A1,A1=1/3
A(n+1)=-2S(n+1)+1
做差A(n+1)-An=-2(S(n+1)-Sn)=-2A(n+1)
A(n+1)=1/3An
An等比,所以An=(1/3)^n
n=1时满足,所以An=(1/3)^n

把点(Sn,An)、(Sn+1,An+1)分别代入直线方程y=-2x+1,
得到:An=-2Sn+1,
An+1=-2Sn+1+1,
两个式子相减,
得到An+1-An=-2An+1
即:3An+1=An
所以这是个等比数列,比例系数为1/3
令n=1
得到:A1=1/3
所以,通式An=(1/3)^n

见图

由数列{An}的前n项和为Sn,且点(Sn,An)在直线y=-2x+1上,
则有Sn=-2An+1①,亦有S(n+1)=-2A(n+1)+1②,
进而② - ①=A(n+1)=-2[A(n+1)-An], 即3A(n+1)=2An, 亦即A(n+1)=(2/3)An,
因此数列{An}为等比例数列。
当n=1时,①式则为:S0=-2A0+1,即A0=1/3。

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由数列{An}的前n项和为Sn,且点(Sn,An)在直线y=-2x+1上,
则有Sn=-2An+1①,亦有S(n+1)=-2A(n+1)+1②,
进而② - ①=A(n+1)=-2[A(n+1)-An], 即3A(n+1)=2An, 亦即A(n+1)=(2/3)An,
因此数列{An}为等比例数列。
当n=1时,①式则为:S0=-2A0+1,即A0=1/3。
所以数列{An}的通项公式An=2^(n-1)/3^n。

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