在等差数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n属于N+)(1)证明数列{an+1-an}是等比数列(2)求数列{an}的同项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 20:00:12
在等差数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n属于N+)(1)证明数列{an+1-an}是等比数列(2)求数列{an}的同项公式
在等差数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n属于N+)
(1)证明数列{an+1-an}是等比数列
(2)求数列{an}的同项公式
在等差数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n属于N+)(1)证明数列{an+1-an}是等比数列(2)求数列{an}的同项公式
（1）.
an+2=3an+1-2an
an+2-an+1=2an+1-2an=2(an+1-an)
(an+2-an+1)/(an+1-an)=2
所以数列{an+1-an}是公比为2的等比数列
(2).
由(1)可知：
a3-a2=2(a2-a1)
a4-a3=2(a3-a2)
-------------
an-an-1=2(an-1-an-2)
以上式了相加得
an-a2=2a(n-1)-2a1
an-3=2a(n-1)-2
an=2a(n-1)+1
an+x=2a(n-1)+1+x=2[a(n-1)+(1+x)/2]
令x=(1+x)/2,解得x=1
an+1=2[a(n-1)+1]
(an+1)/[a(n-1)+1]=2
则数列{an+1}是公比=2,首项为a(2-1)+1=a1+1=2的等比数列
an+1=2*2^（n-1)=2^n
数列{an}的通项公式为：an=2^n-1
（题目的第一句：在“等差”数列{an}中,应没“等差”两字）
我把下标写在 < > 以免和 () 混淆
a
a
(a
所以 数列{a
首项为 a2 - a1 = 3 - 1 = 2
所以 数列{...
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我把下标写在 < > 以免和 () 混淆
a
a
(a
所以 数列{a
首项为 a2 - a1 = 3 - 1 = 2
所以 数列{a
a
a2 - a1 = 2
a3 - a2 = 2^2
a4 - a3 = 2^3
……
an - a
以上各等式相加， 消去 a2 , a3 , …… , a
an - a1 = 2 + 2^2 + 2^3 + …… + 2^(n-1)
右端利用等比数列求和公式，则
an - 1 = 2*[2^(n-1) - 1]/(2-1) = 2^n - 2
an = 2^n - 1
收起
(1) An+2 = 3An+1 -2An, An+2 - An+1 = 2(An+1 -An)
（An+2 - An+1)/ (An+1 -An)=2
所以An+1-An 是公比为2的等比数列。
(2) 数列： An+1 -An的首项＝A2－A1＝3－1＝2
An+1- An= 2*2^(n-1)=2^n
A2 - A1 = 2^1
A3 - A...
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(1) An+2 = 3An+1 -2An, An+2 - An+1 = 2(An+1 -An)
（An+2 - An+1)/ (An+1 -An)=2
所以An+1-An 是公比为2的等比数列。
(2) 数列： An+1 -An的首项＝A2－A1＝3－1＝2
An+1- An= 2*2^(n-1)=2^n
A2 - A1 = 2^1
A3 - A2 = 2^2
....
An - An-1 = 2^(n-1)
等式两边分别相加：
An -A1= 2^1 + 2^2+....+2^(n-1)= 2*[2^(n-1)-1]/(2-1)= 2^n -2
An = 2^n-2+A1=2^n-1
收起