证明：如果向量组 α、β、γ 线性无关,则向量组 α+β、β+γ、γ+α 也线性无关
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/24 17:57:07
证明：如果向量组 α、β、γ 线性无关,则向量组 α+β、β+γ、γ+α 也线性无关
证明：如果向量组 α、β、γ 线性无关,则向量组 α+β、β+γ、γ+α 也线性无关
证明：如果向量组 α、β、γ 线性无关,则向量组 α+β、β+γ、γ+α 也线性无关
反证法,若线形相关,则存在一组不全为0的系数k1、k2、k3：
k1(α+β)+k2(β+γ)+k3(γ+α)=0
整理得：
(k1+k3)α+(k1+k2)β+(k2+k3)γ=0
由α、β、γ 线性无关,知k1+k3=k1+k2=k2+k3=0
解得k1=k2=k3=0,与k1、k2、k3不全为0矛盾.
故α+β、β+γ、γ+α线性无关
线性代理太难了，尤其在网页上输入那些符号难上加难呀，还记得下面这个定理吧
定理4，如果已知某向量组（向量个数为n）线性无关，则此向量组中的每个向量增加一个分量而得到的多一维的向量组（向量个数还是n）一定仍然线性无关。增加一维分量如此，增加任意k维分量显然也是如此。
具体的证明请看下面这个链接的反证法。
http://sxyd.sdut.edu.cn/xiandai/3.2....
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线性代理太难了，尤其在网页上输入那些符号难上加难呀，还记得下面这个定理吧
定理4，如果已知某向量组（向量个数为n）线性无关，则此向量组中的每个向量增加一个分量而得到的多一维的向量组（向量个数还是n）一定仍然线性无关。增加一维分量如此，增加任意k维分量显然也是如此。
具体的证明请看下面这个链接的反证法。
http://sxyd.sdut.edu.cn/xiandai/3.2.pdf
输入实在不便，自已看吧。
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利用反证法证明。
假设α+β、β+γ、γ+α线性相关，则α+β=m(β+γ)+n(γ+α)=mβ+(m+n)γ+nα;
推出α(1-n)=(m-1)β+(m+n)γ;若n不等于1则：
推出α=(m-1)β/(1-n)+(m+n)γ/(1-n);
推出α可以用β和γ表示，系数是(m-1)/(1-n)和（m+n)/(1-n);
则推出αβγ线性相关，所以假设不成...
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利用反证法证明。
假设α+β、β+γ、γ+α线性相关，则α+β=m(β+γ)+n(γ+α)=mβ+(m+n)γ+nα;
推出α(1-n)=(m-1)β+(m+n)γ;若n不等于1则：
推出α=(m-1)β/(1-n)+(m+n)γ/(1-n);
推出α可以用β和γ表示，系数是(m-1)/(1-n)和（m+n)/(1-n);
则推出αβγ线性相关，所以假设不成立，推出α+β，β+γ，γ+α线性无关。
若n=1，则(1-m）β=（m+1)γ;同理可分m等于与不等于1两种情况讨论：
若m不等于1则βγ线性相关；若m等于1则γ=0，nα+mβ+kγ=0,当m=n=0,k可以为任意常数，因此α、β、γ 线性相关，所以与原条件矛盾，假设不成立，推出 α+β、β+γ、γ+α 线性无关。
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