几何数学证明题已知在三角形ABC中,AD是∠BAC的角平分线,求证：AB/AC=BD/DC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 00:19:52
几何数学证明题已知在三角形ABC中,AD是∠BAC的角平分线,求证：AB/AC=BD/DC
几何数学证明题
已知在三角形ABC中,AD是∠BAC的角平分线,求证：AB/AC=BD/DC
几何数学证明题已知在三角形ABC中,AD是∠BAC的角平分线,求证：AB/AC=BD/DC
这是角平分线定理.我把D换成M.
提供四种证明方法：
已知,如图,AM为△ABC的角平分线,求证AB／AC=MB／MC
证明：方法1：（面积法）
三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM,
三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM,
所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC
又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形,面积的比等于底的比,
即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM
所以AB／AC=MB／MC
方法2（相似形）
过C作CN平行于AB交AM的延长线于N
三角形ABM相似三角形NCM,
AB/NC=BM/CM,
又可证明∠CAN=∠ANC
所以AC=CN,
所以AB／AC=MB／MC
方法3（相似形）
过M作MN平行于AB交AC于N
三角形ABC相似三角形NMC,
AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC
又可证明∠CAM=∠AMN
所以AN=MN,
所以AB/AC=AN/NC
所以AB／AC=MB／MC
方法4（正弦定理）
作三角形的外接圆,AM交圆于D,
由正弦定理,得,
AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,
AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM
又∠BAM=∠CAM,∠BMA+∠AMC=180
sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,
所以AB／AC=MB／MC
证明：利用面积相等法。
过D作AB的垂线交AB于E点，过D作AC的垂线交AC于F点，因AD是∠BAC的角平分线的平分线，故DE=DF。
过A点作BC边上的高，设此高为H，则
三角形ABD的面积=AB*DE/2=H*BD/2，推得DE/H=BD/AB
三角形ACD的面积=AC*DF/2=H*CD/2，推得DF/H=CD/...
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证明：利用面积相等法。
过D作AB的垂线交AB于E点，过D作AC的垂线交AC于F点，因AD是∠BAC的角平分线的平分线，故DE=DF。
过A点作BC边上的高，设此高为H，则
三角形ABD的面积=AB*DE/2=H*BD/2，推得DE/H=BD/AB
三角形ACD的面积=AC*DF/2=H*CD/2，推得DF/H=CD/AC
所以 BD/AB=CD/AC
所以 BD*AC=AB*CD
所以 AB/AC=BD/CD
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