求(arctanx/x2)dx在一到正无穷大上的定积分

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/31 02:33:56

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求(arctanx/x2)dx在一到正无穷大上的定积分
∫(1→+∞) (arctanx)/x² dx
= ∫(1→+∞) arctanx d(- 1/x)
= (- arctanx)/x |(1→+∞) + ∫(1→+∞) 1/x d(arctanx)
= - (- π/4) + ∫(1→+∞) 1/[x(1 + x²)] dx
= π/4 + ∫(1→+∞) [(1 + x²) - x²]/[x(1 + x²)] dx
= π/4 + ∫(1→+∞) [1/x - x/(1 + x²)] dx
= π/4 + [ln(x) - (1/2)ln(1 + x²)] |(1→+∞)
= π/4 + ln[x/√(1 + x²)] |(1→+∞)
= π/4 + ln[1/√(1 + 1/x²)] |(1→+∞)
= π/4 + ln[1/√(1 + 0)] - ln[1/√(1 + 1)]
= π/4 + (1/2)ln(2)

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