某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠壁的接触面.如果水渠横断面面积设定值m,渠深3米,则水渠侧壁的角为多大时,方能使修建成本最低?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 09:42:29
某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠壁的接触面.如果水渠横断面面积设定值m,渠深3米,则水渠侧壁的角为多大时,方能使修建成本最低?
某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠壁的接触面.如果水渠横断面面积设定值m,渠深3米,则水渠侧壁的角为多大时,方能使修建成本最低?
某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠壁的接触面.如果水渠横断面面积设定值m,渠深3米,则水渠侧壁的角为多大时,方能使修建成本最低?
设等腰梯形底宽为B,湿周为X（过水断面上水与渠底及两侧壁接触的总长度叫湿周）,水渠侧壁的倾斜角a的余切为 Cot a =Y.已知渠深H=3.
则X=B+2H√(1+Y²） 即 X=B+6√(1+Y²）…… (1)
过水断面积 m =3（B+HY）=3(B+3Y） 即 B=m/3-3Y …… (2)
将（2）代入（1）得：X = m/3-3Y + 6√(1+Y²） 成本最低必需使湿周最短,求 X 对 Y 的一阶导数得
dX/dY=-3+6Y/√(1+Y²),
令dX/dY=0,
得 3 Y²=1
Y=√3/3
即 Cot a =√3/3
a=60º
∴水渠侧壁的倾斜角a应为60º
设梯形上底N腰为L底角a所以m=Lsina(Lcosa+N)
周长C=2（Lcosa+N+L)即C=2（m/Lsina+L)且Lsina=3所以当L=m/3时C最小，所以sina=
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设等腰梯形底宽为A，水渠侧壁的倾斜角x，
则腰长L=H/sinx=3/sinx,上底B=A+2H/cosx=A+6/cosx
面积m=(A+B)H/2=(2A+6/cosx)3/2=3A+9/cosx
A=m/3-3/cosx
要使修建成本最低，则要y=2L+A最小(因为上底不要封)，
y=2L+A=2*3/sinx+（m/3-3/cosx）
=m/...
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设等腰梯形底宽为A，水渠侧壁的倾斜角x，
则腰长L=H/sinx=3/sinx,上底B=A+2H/cosx=A+6/cosx
面积m=(A+B)H/2=(2A+6/cosx)3/2=3A+9/cosx
A=m/3-3/cosx
要使修建成本最低，则要y=2L+A最小(因为上底不要封)，
y=2L+A=2*3/sinx+（m/3-3/cosx）
=m/3+6/sinx-3/cosx
=m/3+3（2/sinx-1/cosx）
要使y最小，则要z=2/sinx-1/cosx最小,
z=2/sinx-1/cosx
=(2cosx-sinx)/(sinxcosx)
=-√5cos[x- actan(1/2)]/(sinxcosx)
当x=actan(1/2)时z最小，即y最小，即工程最小。
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