在三角形ABC中,角ABC对的边分别是abc,且cosA=1/3.(2)若a=根号3,求bc的最大值.谢谢
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 14:19:21
在三角形ABC中,角ABC对的边分别是abc,且cosA=1/3.(2)若a=根号3,求bc的最大值.谢谢
在三角形ABC中,角ABC对的边分别是abc,且cosA=1/3.(2)若a=根号3,求bc的最大值.谢谢
在三角形ABC中,角ABC对的边分别是abc,且cosA=1/3.(2)若a=根号3,求bc的最大值.谢谢
由余弦定理,
CosA=（b^2+c^2-a^2）/2bc=（b^2+c^2-3）/2bc=1/3
因b>0,c>0,由上式可知b^2+c^2-3>0
由均值不等式可得,b^2+c^2>=2bc
代入得1/3=（b^2+c^2-3）/2bc>=(2bc-3)/2bc
解得bc
余弦定理
b^2+c^2-2/3bc=a^2=3
b^2+c^2=2/3bc+3
2bc≤b^2+c^2=2/3bc+3
移项得4/3bc≤3
Bc≤9/4
最大值为9/4
因为 cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
所以 b^2+c^2-3=2bc/3
又因为 b^2+c^2>=2bc
所以 2bc/3>=2bc-3(当且仅当b=c时取等）
所以 bc<=9/4,即bc的最大值=9/4
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=1/3（1）
把a=根3代入（1）式，得
b^2+c^2-3=2/3 bc （2）
转换一下（2）
得：（b-c）^2+2bc-3=2/3 bc
继续转化：
3/4 [3-（b-c)^2]=bc
当b-c=0时，bc=9/4 最大。
根据余弦定理有：cosA=（b^2+c^2-a^2)/2bc=1/3
即：3（b^2+c^2-a^2)=2bc
知在三角形ABC中，a,b,c均大于0，故：b^2+c^2》2bc
则有：bc《9/4
故bc最大值为9/4
sinA=2根号2/3 ;cos（B+C)=-1/3 用正弦定理得到b=(3根号3)*sinB/（2根号2）；c=（3根号3)*sinC/（2根号2）；bc=（27/8）*sinB*sinC=（27/16）*[cos（B-C)-cos（B+C)]=（27/16）*[cos（B-C)+1/3]当B=C时bc取最大值9/4