梯形ABCD中,AB平行于CD,AD=DC=BC,角DAB=60度,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上一点,且EB垂直于AB,EF垂直于AF.（1)当CE=1时,求三角形BCE的面积,（2）求证,BD=EF+CE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 10:13:47
梯形ABCD中,AB平行于CD,AD=DC=BC,角DAB=60度,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上一点,且EB垂直于AB,EF垂直于AF.（1)当CE=1时,求三角形BCE的面积,（2）求证,BD=EF+CE
梯形ABCD中,AB平行于CD,AD=DC=BC,角DAB=60度,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上一点,且EB垂直于AB,EF垂直于AF.
（1)当CE=1时,求三角形BCE的面积,
（2）求证,BD=EF+CE
梯形ABCD中,AB平行于CD,AD=DC=BC,角DAB=60度,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上一点,且EB垂直于AB,EF垂直于AF.（1)当CE=1时,求三角形BCE的面积,（2）求证,BD=EF+CE
第一个问题：
分别过C、D作AB的垂线,垂足分别为G、H.
∵AD＝BC、DC∥AB,∴ABCD是以AD、BC为腰的等腰梯形,∴∠DAB＝∠CBA＝60°.
∵DC∥HG、CG⊥HG、DH⊥HG,∴CDHG是矩形,∴DC＝HG.
∵AD＝BC、∠DAH＝∠CBG＝60°、∠AHD＝∠BGC＝90°,∴AH＝BG＝BC/2＝DC/2.
∴AB＝AH＋HG＋BG＝DC/2＋DC＋DC/2＝2DC＝2BC.
∵AB＝2BC、∠ABC＝60°,∴AC⊥BC,∴BC⊥CE.
∵BE⊥AB、∠ABC＝60°,∴∠CBE＝30°,又BC⊥CE,∴BC＝√3CE＝√3.
∴S(△BCE)＝（1/2）CE×BC＝（1/2）×1×√3＝√3/2.
第二个问题：
在AE上取点O,使OE＝BE.
∵BC⊥CE、∠CBE＝30°,∴∠BED＝60°,又OE＝BE,∴△BOE是等边三角形,
∴BO＝BE、∠BOE＝60°.
∵AB⊥BE、∠AEB＝60°,∴∠BAE＝30°,又∠BAD＝60°,∴AE是∠BAF的平分线,
而BE⊥AB、EF⊥AF,∴由角平分线性质,有：EF＝BE＝BO.
由三角形外角定理,有：∠BOE＝∠BAO＋∠ABO,而∠BOE＝60°、∠BAO＝30°,
∴∠ABO＝30°,∴∠BAO＝∠ABO,∴AO＝BO＝EF.
∵△BOE是等边三角形,又BC⊥OE,∴OC＝CE,∴AC＝AO＋OC＝EF＋CE.