已知三角形abc中,角c等于90度,d为ab中点,e.f分别在ac.bc上,且de垂直df,求证ae平方加上bf方等于ef平方

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 23:09:08
已知三角形abc中,角c等于90度,d为ab中点,e.f分别在ac.bc上,且de垂直df,求证ae平方加上bf方等于ef平方已知三角形abc中,角c等于90度,d为ab中点,e.f分别在ac.bc上

已知三角形abc中,角c等于90度,d为ab中点,e.f分别在ac.bc上,且de垂直df,求证ae平方加上bf方等于ef平方
已知三角形abc中,角c等于90度,d为ab中点,e.f分别在ac.bc上,且de垂直df,求证ae平方加上bf方等于ef平方

已知三角形abc中,角c等于90度,d为ab中点,e.f分别在ac.bc上,且de垂直df,求证ae平方加上bf方等于ef平方
证明:如图,过点D分别作AC,BC的垂线,垂足分别为G,H.
      因为D为AB的中点,△ABC为直角三角形
      所以AG=CG,BH=CH,且DG⊥DH
         又因为DE⊥DF
         所以∠GDE=∠HDF
         又有∠EGD=∠FHD=90度
     所以△EGD∽△FHD
        所以DG/DH=GE/FH=(CG-CE)/(BH-BF)=(GE+CG-CE)/(FH+BH-BF)=(GE+AG-CE)/(FH+CH-BF)=(AE-CE)/(CF-BF)
   (注:GE/FH=(CG-CE)/(BH-BF)=(GE+CG-CE)/(FH+BH-BF)(这一步用到了分数的合比性质,即如果a/c=b/d那么有a/c=b/d=(a+c)/(b+d))
    又因为DG/DH=DG/AG=BC/AC
       所以BC/AC=(AE-CE)/(CF-BF)
    所以BC*(CF-BF)=AC*(AE-CE)又有BC=CF+BF,AC=AE+CE
       所以(CF+BF)*(CF-BF)=(AE+CE)*(AE-CE)
    CF^2-BF^2=AE^2-CE^2
       CF^2+CE^2=AE^2+BF^2
       根据勾股定理有:CF^2+CE^2=EF^2
       所以AE^2+BF^2=EF^2,命题得证
    注:你在题中把点用小写字母表示,应当用大写字母,我上面证明用了大写字母.

rt三角形中由勾股定律可以得到:EF^2=DF^2+DE^2=CF^2+CE^2
D是AB中点,所以AD=BD=0.5AB
而由余弦定律可得:DE^2=AE^2+AD^2-2AE*AD*COS A=AE^2+AD^2-AE*AC
DF^2=BF^2+BD^2-2BF*BD*COS B=BF^2+BD^2-BF*B...

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rt三角形中由勾股定律可以得到:EF^2=DF^2+DE^2=CF^2+CE^2
D是AB中点,所以AD=BD=0.5AB
而由余弦定律可得:DE^2=AE^2+AD^2-2AE*AD*COS A=AE^2+AD^2-AE*AC
DF^2=BF^2+BD^2-2BF*BD*COS B=BF^2+BD^2-BF*BC
(因为COS A=AC/AB COS B=BC/AB)
所以EF^2=DF^2+DE^2=AE^2+BF^2+AD^2+BD^2-AE*AC-BF*BC
=AE^2+BF^2+0.5AB^2-AE*AC-BF*BC (1)
同样由 EF^2=CF^2+CE^2
得到 EF^2=(BC-BF)^2+(AC-AE)^2=
=BF^2+AE^2+AC^2+BC^2-2BC*BF-2AC*AE
=AE^2+BF^2+2(0.5AB^2-AE*AC-BF*BC) (2)
2*(1)-(2)可得:
EF^2=AE^2+BF*2

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证明:延长ED至G,使DG=DE,连接GF,GB
∵ DG=DE,DE⊥DF
∴ GF=EF
∵ BD=DA,DG=DE,∠BDG=∠ADE
∴ ΔBDG≌ΔADE
∴ BG=AE,∠GBD=∠A
∵ ∠C=90º
∴ ∠ABC+∠A=90º
∵ ∠GBD=∠A
∴ ∠ABC+∠GBD=9...

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证明:延长ED至G,使DG=DE,连接GF,GB
∵ DG=DE,DE⊥DF
∴ GF=EF
∵ BD=DA,DG=DE,∠BDG=∠ADE
∴ ΔBDG≌ΔADE
∴ BG=AE,∠GBD=∠A
∵ ∠C=90º
∴ ∠ABC+∠A=90º
∵ ∠GBD=∠A
∴ ∠ABC+∠GBD=90º,即∠GBF=90º
∴ GF²=BG²+BF²
∵ GF=EF,BG=AE
∴ EF²=AE²+BF²
这个比较好理解!

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三角形ABC中,C等于90度,角ABC的平分线交BC于D,已知CD等于3,BD等于5,求三角形ABC的周长 已知三角形ABC中,角C等于90度,AC等于12,BC等于16,以C为圆心,AC为半径的圆交斜边AB于点D,求AD的长 已知等腰三角形abc中,ab等于ac,d为bc边上一点,连接ad,若三角形acd和三角形abd都是等腰三角形,求角c度 已知三角形abc中,角B等于角C,又三角形abc全等三角形def,若角A加角F等于100度,求角D的度数 已知三角形ABC中,AC等于AB,角C等于30度,AD垂直于AB交于D,而且AD等于1,求三角形ABC的面积. 如图,已知在三角形abc中,角c等于90度,角b等于15度,de垂直平分ab,e为垂足交bc于d,bd等于16,ac等于多少 三角形ABC中,角C等于90度,已知圆O为三角形ABC内切圆,AO延长交BC于D,CD=3,BD=5,求圆O半径 如图,已知rt三角形abc中,角acb等于90度,ac等于6,bc等于8,以c为圆心,ca为半径画弧交斜边ab于点d,求ad的长. 已知三角形abc中角A等于90度,ab等于ac,d为bc中点 求证 三角形def是等腰直角三角形 如图,三角形ABC中,已知角C等于90度,CD垂直AB于D,AC等于9,BC等于12,求CD的长. 已知,如图,在三角形abc中,角c等于90度,角b等于30度,ab的垂直平分线交bc于d,垂足为e,bd等于4cm,求ac长度. 已知三角形ABC中,角A等于角B等于角C求证明三角形ABC为等边三角形 在Rt三角形abc中,角c等于90度,tanA等于十二分之五,三角形abc的周长为18,则三角形abc的面积为 已知三角形ABC中,角ACB等于90度,AC等于BC,AD垂直CE,BE垂直CE,D,E为垂足,求证:DE+BE等于CE 已知三角形ABC全等于三角形A'B'C',AD、A'D'分别为三角形ABC三角形A'B'C'的角平分线求证AD=A'D' Rt三角形ABC中,角C等于90度,角A=45度,D为AC上一点 角BDC等于60度,AD等于2 在三角形ABC中,已知B等于60度,C等于45度,BC等于8,AD垂直BC于D,则AD长为 已知:三角形ABC中,角C等于90度,角A等于30度,AB等于8cm.求以AC为边的正方形面积