平面直角坐标系中,A(-4,0),B(4,0),设C(x,y)满足CA⊥CB,求CA+CB的最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 18:33:19
平面直角坐标系中,A(-4,0),B(4,0),设C(x,y)满足CA⊥CB,求CA+CB的最大值.
平面直角坐标系中,A(-4,0),B(4,0),设C(x,y)满足CA⊥CB,求CA+CB的最大值.
平面直角坐标系中,A(-4,0),B(4,0),设C(x,y)满足CA⊥CB,求CA+CB的最大值.
CA⊥CB,显然C在以AB为直径的圆上,圆心为AB的中点,即原点,半径为4,圆方程为：
x²+y² = 16
f(x) = CA + CB = √[(x + 4)² + (y-0)²] + √[(x - 4)² + (y-0)²] = √[(x + 4)² + y²] + √[(x - 4)² + y²]
= √(x² + y² +8x +16) + √(x² + y² - 8x +16)
= √(32 + 8x) + √(32 - 8x)
f'(x) = (1/2)*8/√(32 + 8x) - (1/2)*8/√(32 - 8x)
f'(x) = 0时,f(x)最小,此时：
(1/2)*8/√(32 + 8x) = (1/2)*8/√(32 - 8x)
√(32 + 8x) = √(32 - 8x)
32 + 8x = 32 - 8x
x = 0
此时f(x)=√(32 + 8x) + √(32 - 8x)
=√32 + √32
=8√2
一楼的太复杂！更简单的方法是：利用圆的知识
在坐标系上，以OA或OB为半径作圆，则圆上一点可与AB可构成无数个RT三角形，
令RT三角形的直角边为 x和y，(x,y代表CA，CB，不是C点坐标)
RT三角形满足x²+y² =64，要使x+y最大，则（x+y）²最大，而（x+y）²=x²+y²+2xy=64+2...
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一楼的太复杂！更简单的方法是：利用圆的知识
在坐标系上，以OA或OB为半径作圆，则圆上一点可与AB可构成无数个RT三角形，
令RT三角形的直角边为 x和y，(x,y代表CA，CB，不是C点坐标)
RT三角形满足x²+y² =64，要使x+y最大，则（x+y）²最大，而（x+y）²=x²+y²+2xy=64+2xy
所以当x乘y的积最大时，才能保证x+y的值最大 （没错吧）
再利用圆，因为三角形面积为 x乘y再除2
也就是说三角形面积最大时，x+y的值也就最大
在圆中，三角形的高为4时，面积最大，此时可得x=y=√32 接着 x+y=√32 + √32=8√2
（应该不难理解吧）
,
收起
CA=CB=4√2
CA+CB=8√2