如图,三角形ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且角ABD=角ACD=60度,求证:CD=AB-BD.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 18:06:21
如图,三角形ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且角ABD=角ACD=60度,求证:CD=AB-BD.
如图,三角形ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且角ABD=角ACD=60度,求证:CD=AB-BD.
如图,三角形ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且角ABD=角ACD=60度,求证:CD=AB-BD.
延长BD,并在BD的延长线上取一点M,使DM=CD,
角ADM=90度+1/2角BDC,
角ADC=角ADB+角BDC=90度-1/2角BDC+角BDC=90度+1/2角BDC,
所以角ADM=角ADC.
此时在三角形ACD和三角形ADM中,AD=AD,CD=DM,角ADC=角ADM,
所以三角形ADC全等于三角形ADM（SAS）.
所以AC=AM,又因为AB=AC,所以AM=AB.
又因为角ABD=60度,所以三角形ABM为等边三角形.
所以AB=BM,又因为CD=DM,
∴AB=BD+DC
2.证明:延长BD到E,使DE=DC,连接AE、CE
∵∠ABD=∠ACD=60°
∴ABCD四点共圆
∴∠BDC=∠BAC=（1/2）弧BC
∴∠CAD=∠CBD=（1/2）弧CD
∴∠ADB=∠ACB=（1/2）弧AB
在△ADC和△ADE中
∠ADC= ∠ACB+∠BAC
∠ADE=∠ABE+∠BAD
=∠ABE+∠BAC+∠CAD=∠ABE+∠CBD+∠BAC
=∠ABC+∠BAC
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ADC=∠ADE
∵CD=DE(已做）
AD=AD（公共边）
∴△ADC≌△ADE
∴AE=AC
∴AE=AB
∴△ABE是等边三角形
∴BE=AB
∵BE=BD+DE=BD+DC
∴AB=BD+DC
法3.已知△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=∠ACD=60°,求证:BD+DC=AB
延长BD至E,使BE=AB,∵∠ABD=60°∴△ABE是等边三角形
同理可作等边三角形ACF
--->△ADE≌△ADC,△ADF≌△ADB
--->DE=DC,DF=DB
--->BD+DC=BD+DE=DF+DC=AC=AB
前2个方法都是四点共圆,只有第三个不是